12 机械振动（一） 一周强化 一、一课程概述 内容及目的： 1、了解机械振动的概念及条件 2、理解简谐振动的概念及简谐振动的条件 3、理解描述简谐振动的物理量的意义 4、掌握振动图象的物理意义用其作用 本周内容与前面内容的关系： 1、本部分知识是在学习了恒力作用下的匀变速直线运动和匀变速曲线运动；学习了大小不变而方向不断改变的向心力作用下匀速圆周运动的基础上进一步学习大小和方向都改变的回复力作用下物体的振动，从而认识这种新的运动形式。 2、学习过程中要联系位移、速度、加速度、力、机械能等概念以及受力分析、胡克定律、机械能守恒定律等方法和规律，在理解的基础上建立起振幅、周期等描述振动的新概念。 重点知识的描述： 1、机械振动的产生条件 ①受到回复力作用； ②阻力足够小。 2、简谐运动 简谐运动的特征：①动力学特征：，式中的k为回复力与位移的比例系数，x是相对平衡位置的位移，负号表示回复力方向始终与位移方向相反。②运动学特征：运动位移随时间按正弦或余弦规律变化。 3、描述振动的物理量： ①振幅A：表示振动的空间范围，反映振动的强弱，在数值上等于最大振动位移绝对值。位移、振幅都是从平衡位置计算的，位移是由平衡位置指向振动物体所在位置的有向线段，是矢量，振幅是标量。 ②周期T：表示完成一次全振动的时间，反映振动的快慢，（注意：经一次全振动，物体的位移、速度均回复到原来的大小和方向） ③频率f：表示单位时间内完成全振动的次数，4、简谐运动的图像 简谐运动图像是表示简谐运动物体的位移随时间变化规律的图像，简谐运动的图像是正弦或余弦曲线。 二、重点知识归纳及讲解 1、回复力的方向总是指向动的平衡位置，它是按照力的作用效果命名的，振动物体的回复力，可能是几个的合力，也可能是某一个力，还可能是某个力的分力。 2、从简谐运动的图像上，我们可以直接得到如下信息 ①直接读出振幅（注意单位） ②直接读出周期 ③确定某一时刻物体相对平衡位置的位移 ④判断任一时刻运动物体的速度方向和加速度方向 ⑤判断某一段时间内运动物体的速度、加速度、动能及势能大小的变化情况 ⑥计时时刻物体的位置和运动方向 三、难点知识的剖析 例1、如图所示，质量为M的橡皮泥从一定高度自由下落，落到正下方被轻弹簧支起的木板上，并粘在木板上和木板一起作简谐振动，木板质量为m，轻弹簧劲度系数为k，相碰后弹簧又被向下压缩了长度a，弹簧振子做简谐振动的周期为T=2πm振子是振子的质量，则 ，其中 A. 系统的振幅为 B. 系统的振幅大于 C. 木板下压a距离的时间为 D. 木板下压a距离的时间小于解析： 选B、D。竖直放置的弹簧振子的振动仍为简谐运动，其振动周期为T=2π，m为振子质量，k为弹簧的劲度系数，只是平衡位置在弹簧弹力和振子重力相平衡的位置上，振子运动时上下离平衡位置的最大距离是相等的，但此题须注意橡皮泥落在木板上后，除振子质量增大周期增大外，其振动的平衡位置也会向下移动，同时也要考虑木板的原位置也不是振动的最高点，因为橡皮泥落入木板后，它们就有了速度，接着先向平衡位置作加速运动，再向下作减速运动到最低点。 例2、如图是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像(x-t图),由图可推断,振动系统 A．在t1和t3时刻具有相等的动能和相同的动量 B．在t3和t4时刻具有相等的势能和相同的动量 C．在t4和t6时刻具有相同的位移和速度 D．在t1和t6时刻具有相同的速度和加速度 解析： 选B. t1和t3时刻振子的位移相等，其速度大小也相等，但方向相反，所以这两个时刻振子动能相同，动量不相同，t4和t6时刻情况相同；在t3和t4时刻振子位移大小相等，但方向相反，这两个时刻振子速度大小、方向都相同，动能、动量也相同，弹簧的形变量相等，所以弹簧的势能相等；t1和t6两时刻速度相同，但加速度相反。 例3、一弹簧振子作简谐运动，则下列说法正确的有： A. 若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值； B. 振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大； C. 振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同； D. 振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度和位移一定相同。 分析与解答：正确答案是D。 如图所示，因为弹簧振子的位移是以平衡位置O为起点的，设向右为正，则当振子在OA段时，位移为正，在OA'段时位移为负。可见当振子由O向A'运动时其位移为负值，速度也是负值，故A选项错。 振子在平衡位置时，回复力为零，加速度a为零，但速度最大，故B错。 振子经过平衡位置O时，速度方向可以是不同的（可正、可负），故C错。 向右，故D正确。 可见，分析简谐运动各量变化关系时，一定要以位移为桥梁理清各物理量间的关系，要和实际弹簧振子运动联系起来，画出草图来分析。 例4、某质点做简谐运动，先后以同样的速度通过相距l的a、b两点（如图所示），用的时间是1s。过b点后再经1s以相反方向的速度（相同的速率）再次通过b点，则该质点作简谐运动的周期T＝___________。 分析与解答：简谐运动中有两个对称，一是关于最大位移处的对称，一是关于平衡位置的对称。 根据关于平衡位置的对称性，当振子的速率相等时，其位移大小必定相等，且通过该相等位移所用的时间也相同。据此可以判定：该简谐运动的平衡位置必在ab连线的中点O；同时从O运动到b的时间为0.5s，而且，第二次通过b再回到O所用的时间也是0.5s（b到O和O到b用时相等）；根据关于最大位移处的对称性，从b到最大位移处用时为0.5s。而O至最大位移时用的时间即简谐运动的四分之一周期为1s，因此，该简谐运动的周期为4s。 例5、一个质点在平衡位置O点附近做机械振动，若从O点开始计时，经过3s钟质点第一次经过M点如图所示；再继续运动，又经过2s钟它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需的时间是： A．8s B．4s C．14s D．解析： 解决这类问题要注意两点： ①简谐振动的物体在振动过程中，其位移、速度、回复力、加速度等式物理量的大小关于平衡位置对称； ②对完成一次全振动的理解和分析。设图中a、b两点为质点振动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O点向右运动，运动过程历时3s； 过程历时2s，显然，T＝16s，质点第三次经过M点还需要的时间为，故选项C正确。若开始计时时刻质点从O点向左运动，运动过程历时3s，运动过程历2s，显然， ，。质点第三次再经过M点所需要的时间D正确。 综上所述，该题的正确答案是C、D。 ，故选项例6、在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的轻度系数为k，振子质量为M，振子的最大速度为求： ，如图所示，当振子运动到最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上， （1）要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少为多大？ （2）一起振动时，二者过平衡位置的速度多大？振幅又是多大？ 解析： 本题在分析时要联系牛顿定律和机械能的知识进行分析。放物体前其最大回复力大小，振动的机械能为 （1）放上物体m后，一起振动的最大加速度大小为，对物体而言，所需要的回复力是M施于的静摩擦力，则放上时加速度最大，所需的静摩擦力亦最大，设最大静摩擦力大小为，则当满足时，两者可一起振动，即 （2）当两者一起振动时，机械能守恒，过平衡位置时，弹簧恢复原长，弹性势能为零，则，，物体和振子在最大位移处，动能为零，势在必行能最大，这个势能与没有放物体前相同，所以弹簧的最大形变是不变的，即振幅仍为A。 例7、如图所示，为某一质点做简谐振动的图线，由图可知（ ） A．t = 0时，质点的位移、速度均为零 B．t = 1s时，质点的位移最大，速度为零，加速度最大 C．t = 2s时，质点的位移为零，速度为负方向最大，加速度为零 D．质点的振幅为10cm，周期为2s 解析： 在解图象一类问题时，要理解振动图象是反映做简谐振动的质点在不同时刻的位移，不是质点的运动轨迹。对于质点的速度和加速度要结合简谐振动的过程和特点进行分析后作出判断。本题从图象中易得到各时刻对应质点相对平衡位置的位移。由回复力F = - kx可知加速度与位移成正比，方向与位移方向相反。速度在平衡位置最大，在最大位移处速度为零。 所以本题答案为B、C。 在线测试 A 卷 一、选择题 1、一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度数值越来越大，则在这段时间有（ ） A．振子的速度越来越大 B．振子正在向平衡位置运动 C．振子的速度方向与加速度方向相反 D．以上说法都不正确 2、一质点做简谐运动，先后以相同的动量依次通过A、B两点，历时1s，质点通过B点后再经过1s钟又第2次通过B点，在这2s钟内，质点通过的总路程为12cm，则质点的运动周期和振幅分别为（ ） A．3s，6cm B．4s，6cm C．4s，9cm D．2s，8cm 3、一平台在竖直方向上做简谐运动，一物体置于其上一起运动，当平台运动到什么位置时，物体对平台的正压力最大（ ） A．当平台运动到最低点时 B．当平台运动到最高点时 C．当平台向上运动经过平衡位置时 D．当平台向下运动经过平衡位置时 4、一个弹簧振子做简谐运动，若周期为T，则（ ） A．若t时刻和整数倍 时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则一定等于T的 B．若t时刻和整数倍 时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则一定等于的 C．若，则在t时刻和时刻振子运动的加速度一定相等 D．若，则在t时刻和时刻弹簧的长度一定相等 5、做简谐运动的弹簧振子，其振子的质量为m，运动过程中的最大速率为v，从某一时刻算起，在半个周期内（ ） A．弹力所做的功一定为零 B．弹力做的功可能是零到之间的某一值 C．弹力的冲量一定为零 D．弹簧和振子系统的机械能和动量都守恒 6．弹簧振子做简谐振动，其位移x与时间的关系如图所示，由图可知（ ） A．在t = 1s时，振子的速度最大，方向为负方向，加速度为零 B．在t = 2s时，振子的速度最大，方向为负方向，加速度为零 C．在t = 3s时，振子的速度为零，加速度最大，方向为正方向 D．在t = 4s时，振子的速度为零，加速度最大，方向为正方向， 7、在图中的振动图象中，a、b、c三点对应的时刻，下列说法中正确的有（ ） A．a、b两点的加速度相同 B．b、c两点的加速度相同 C．a、b两点的速度相同 D．b、c两点的速度相同 8、下列关于弹簧振子的振动，其说法正确的是（ ） A．运动一个周期，位置不变，路程一定为振幅的4倍 B．运动半个周期，位置不变，路程一定为振幅的2倍 C．运动一个周期，弹性势能不变，动能不变 D．运动半个周期，振子的动量一定为零 9、如图所示是某弹簧振子振动图象，试由图象判断下列说法哪些正确（ ） A．振幅是3m B．周期是8s C．4s末小球速度为负，加速度为零 D．第14s末小球的加速度为正，速度最大 B 卷 10、如图所示，为一质点做简谐运动的图像，该质点的振幅A＝________。周期T＝_____，频率f_____。当t＝_____时，质点的位移最大；当t＝_____时，质点的速度最大。 11、一个做简谐振动的弹簧振子，先后通过a、b两点的速度相同，其间历时0.2s，再接着经过0.1s，振子第二次通过b点，此时速度与第一次等值反向。若振子在此0.3s内经过的路程为12 cm，则振动的周期为______s。振子完成三次全振动所通过的路程_______cm， 12、一个水平的弹簧振子，其弹簧的劲度系数为k，振子的质量为m，振动的固有频率为4HZ，若要使它在振动过程中产生的最大加速度以达到6m/s2，已知弹簧振子的振动周期为，则振子的振动幅度为A为_____cm。 13、一质量为M的物块a在劲度系数为k的轻弹簧的作用下，在光滑的水平上做振幅为A的简谐振动，通过平衡位置时的速度为。当物块通过平衡位置时，在一质量为m的橡皮泥轻轻地落在物块上，并同物块一起振动。则它们一起振动的最大速度为________，振幅为________。 答案 第 1题答案错误! 正确答案为 C 第 2题答案错误! 正确答案为 B 第 3题答案错误! 正确答案为 A 第 4题答案错误! 正确答案为 CD 第 5题答案错误! 正确答案为 A 第 6题答案错误! 正确答案为 BC 第 7题答案错误! 正确答案为 BC 第 8题答案错误! 正确答案为 AC 第 9题答案错误! 正确答案为 BC 提示： 9、纵轴是质点离开平衡位置的位移，横轴是时间，图象是振动图象。由图象可知振幅A＝3cm，故A错，而周期T＝8s，故B正确。 4s末质点由正位移向负位移通过平衡位置，位移为零，速度为负方向，而加速度为零，∴C正确。 从第12s末到第14s末图象延伸到x轴负的最大值处，故此时质点位移为负的最大值，加速度最大，且为正值，但速度为零，故D错。 答案： 10、5cm； 2s； 0.5Hz； 1s、3s、5s； 2s、4s 、6s 11、0.6；72 12、3.75 提示：由和与周期公式联解。 13、； 提示：根据动量守恒与机械能守恒定律求解。 高考解析 例1、一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中（ ） A．升降机的速度不断减小 B．升降机的加速度不断变大 C．先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功 D．到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值。 解析： 分析升降机的运动，可知从绳索断裂开始，升降机先做自由落体运动，弹簧下端触地则升降机与弹簧一起构成一个弹簧振子，在弹簧与地面接触过程中，升降机做简谐运动，忽略摩擦力，弹簧离地后，升降机做竖直上抛运动。画出升降机的一个周期的速度时间图象，取竖直向下为正方向。如图。升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程，即为图中t1时刻至t3时刻，由图易知，升降机的速度先增后减，动能先增后减，加速度先减后增，故C正确。由简谐运动的对称性可知，t2时刻的加速度等于t1时刻的加速度等于重力加速度g，而t3时刻的加速度大于t2时刻的加速度，所以t3时刻的加速度大于重力加速度g，故D正确，正确选项为CD。 例2、一弹簧振子做简谐运动，振动图象如图所示。振子依次振动到图中a、b、c、d、e、f、g、h各点对应的时刻时，（1）在哪些时刻，弹簧振子具有：沿x轴正方向的最大加速度；沿x轴正方向的最大速度。（2）弹簧振子由c点对应x轴的位置运动到e点对应x轴的位置，和由e点对应x轴的位置运动到g点对应x轴的位置所用时间均为0.4s。弹簧振子振动的周期是多少？（3）弹簧振子由e点对应时刻振动到g点对应时刻，它在x轴上通过的路程是6cm，求弹簧振子振动的振幅。 分析： （1）弹簧振子振动的加速度与位移大小成正比，与位移方向相反。振子具有沿x轴正方向最大加速度，必定是振动到沿x轴具有负向的最大位移处，即图中f点对应的时刻。 振子振动到平衡位置时，具有最大速度，在h点时刻，振子速度最大，再稍过一点时间，振子的位移为正值，这就说明在h点对应的时刻，振子有沿x轴正方向的最大速度。 （2）图象中c点和e点，对应振子沿x轴从＋7cm处振动到－7cm处。e、f、g点对应振子沿x轴，从－7cm处振动到负向最大位移处再返回到－7cm处。由对称关系可以得出，振子从c点对应x轴位置振动到g点对应x轴位置，振子振动半周期，时间为0.8s，弹簧振子振动周期为T＝1.6s。 （3）在e点、g点对应时间内，振子从x轴上－7cm处振动到负向最大位移处，又返回－7cm处行程共6cm，说明在x轴上负向最大位移处到－7cm处相距3cm，弹簧振子的振幅A＝10cm。 解答：（1）f点； h点。（2）T＝1.6s。（3）A＝10cm。 说明： 本题主要考察结合振动图象如何判断在振动过程中描述振动的各物理量及其变化。讨论振子振动方向时，可以把振子实际振动情况和图象描述放在一起对比，即在x轴左侧画一质点做与图象描述完全相同的运动形式。当某段图线随时间的推移上扬时，对应质点的振动方向向上；同理若下降，质点振动方向向下。振动图象时间轴各点的位置也是振子振动到对应时刻平衡位置的标志，在每个时刻振子的位移方向永远背离平衡位置，而回复力和加速度方向永远指向平衡位置，这均与振动速度方向无关。因为振子在一个全振动过程中所通过的路程等于4倍振幅，所以在t时间内振子振动n个周期，振子通过的路程就为4nA。 课外拓展 1、如图所示，竖直悬挂的轻弹簧，在其下端挂着P、Q两物块，其质量分别为M =0.9kg和m = 0.3kg，系统静止时，弹簧伸长16cm（弹性限度内），若剪断P、Q间的细线，则P在竖直方向做简谐振动，求： （1）P的振幅 （2）P的最大加速度 （3）P的振动周期 解析： 将P、Q当作整体进行分析，设弹簧的劲度系数为k，由物体的平衡的知识可知： （1）Q对弹簧的拉伸的长度为 ，由胡克定律得 当将细线剪断后，P的振幅A = （2）P受的最大回复力为Q的重量大小，所以P的加速度a为 （3）由弹簧振子的振动周期公式可知 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/e3db4651a16925c52cc58bd63186bceb19e8edc0.html