“九连环”中的数列递推关系 山西省原平市第一中学 任所怀 “九连环”是一个古老的中国智力游戏，对于它的结构和玩法在人教版普通高中课程标准实验教科书《数学5》第59页有详细介绍。为了让大家能更深入了了解这一游戏，我对这一游戏进行了进一步的深入剖析，写成这一篇文章与大家共享。 初见“九连环”可能会无从下手，按照我们从简单到复杂，从特殊到一般的归纳法思路，我们不妨先从“一连环”，“二连环”，“三连环”，„„入手，从中找出规律，从而得出“n连环”的一般解法。 “一连环”解法简单，只需把圆环从上面的框架上取下，然后从框架中间穿过，就可把圆环从框架上解下。把这样的移动记为一次移动，则解“一连环”需要移动的次数为1次，记为f(1)1。 “二连环”解法也简单，只需按照上面的移动规则，先把第2环解下，然后再解下第1环即可，则解“二连环”需要移动的次数为2次，记为f(2)2。 “三连环”的解法为：先解下第1环，（记为：下1），再解下第3环（记为：下3），再套上第1环（记为：上1），接着解一个“二连环”，就可完成。所以解“三连环”需要移动的次数为f(3)111f(2)5； “四连环”的解法为：先解下前两环，（即下1，下2），再解下第4环（下4），再套上前2环（上2，上1），接着解一个“三连环”，就可完成。所以解“四连环”需要移动的次数为f(4)f(2)1f(2)f(3)2f(2)f(3)110； 由上归纳类比，可得 “n连环”（n3）的解法可分为四步：第一步：先解前n-2环，需要移动f(n2)次；第二步：解下第n环，需要移动1次；第三步：套上前n-2环，解法就相当把解下过程倒过来，所以需要移动f(n2)次；第四步：解下前n-1环，需要移动的次数为f(n1)。于是解“n连环”需要移动的次数为 f(n)f(n2)1f(n2)f(n1)2f(n2)f(n1)1(n3)； 于是我们得到了一个数列的递推关系，即 n3)已知数列{f(n)}，其中f(1)1,f(2)2,f(n)2f(n2)f(n1)1,(，下面我们共同探求，如何能求出该数列的通项公式？ 解：由f(n)2f(n2)f(n1)1,(n3)得 1)2[fn( f(n)f(n2)fn(1)]n1 , 记anf(n1)f(n)，则an2an11(n2)且a1f(2)f(1)3 由an2an11(n2)得an12(an11) 于是数列{an1}为等比数列，公比为2，首项为a114 所以an142n12n1，所以an2n11。 即f(n1)f(n)2n11 （1） 设f(n1)r2n1p(1)[f(n)r2np]，则 f(n1)f(n)3r2n2p （2） 21对比（1）（2）两式可知3r2且2p1 于是r,p 322121即f(n1)2n1(1)[f(n)2n] 323221211于是有数列{f(n)2n}为等比数列，公比为-1，首项为f(1)2。 32326211所以f(n)2n(1)n1 326121于是有f(n)(1)n12n。 632点评：有了这一结论，我们就可轻松计算出解“九连环”需要移动的次数为f(9)341次。 另外在上面的研究过程中，我们两次构造数列来求数列的通项公式，这是由递推推导通项的重要方法。下面我们再来看一个例子： （人教版普通高中课程标准实验教科书《数学5》第69页） 已知数列{an}中，a15,a22,an2an13an2(n3)，对于这个数列的通项作一研究，能否写出它的通项公式？ 解：由an2an13an2(n3)得 anan3)13(an1an2)(n 设bnan1an，则上式可化为bn3bn1(n2)，且b1a2a17 所以数列{bn}为等比数列，公比为3，且首项为7，所以bn73n1。 即 an1an73n1(nN*) （3） 设an1r3n(1)(anr3n1)，则an1an4r3n1 （4） 7对照（3）和（4）可知4r7，于是r 477即an13n(1)(an3n1) 4477713所以数列{an3n1}为等比数列，公比为-1，首项为a15。 4444713137所以an3n1(1)n1，于是an(1)n13n1。 4444点评：对于上面两个由递推推导通项的过程，你会发现它们的推导过程如出一辙。先构造一个数列把相邻三项的递推关系转化为相邻两项的递推关系，然后再构造数列把相邻两项的递推关系转化为通项公式。 举一反三，下面请读者自已动手，推导著名的数列斐波那契数列的通项公式; 已知数列{an}，其中a11,a21,anan1an2(n3)，求数列{an}的通项公式。 答案为：an551n515n()()。 5252作者简介：任所怀，山西省原平市第一中学一级教师。1996年毕业于山西师范大学数学系，在中学任教15年，一直从事高中数学教学与研究工作。在人教网发表论文6篇。 2006年度忻州市高中数学信息技术与学科课程整合教学能手； 2011年荣获忻州地区信息技术与课堂教学“十佳教师”称号； 2012年在参与“十一五”规划课题《提高课堂教学实效性的教学策略研究》工作中，被评为;教育部课题研究先进工作者。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/163bcdc26194dd88d0d233d4b14e852459fb3940.html