推到期望方差性质 一、期望 定义： 在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。 离散型：E(X)=\sum_{I}x_{I}p_{I} 连续型：E(X)=\int_{-\INFTY }^{\INFTY}XF(x)dx 即：概率加权下的“平均值”。 2、无条件成立 E(KX)=KE(X E(X+Y)=E(X)+E(Y) 3、X和Y相互独立 E(XY)=E(X)E(Y) 事实上，若E(XY)=E(X)E(Y)，只能说明X和Y不相关。（不相关的定义来自下面协方差部分?） 关于相关和独立相关性是指两个随机变量之间的线性关系，不相关只是说明它们之间不具有线性关系，但是可以有别的关系，所以不一定相互独立。 如果两个随机变量独立，就是说它们之间没有任何关系，自然也不会有线性关系，所以它们不相关。反过来说如果两个随机变量相关，也就是说它们之间有线性关系，自然不独立。 独立：P(AB)=P(A)P(B) 互斥：P(AB)=0， P(A+B)=P(A)+P(B) 二、方差 1、定义 方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度 Var(X)=E\left \{ [X-E(X)]^{2} \right \}=E(X^{2}-E^{2}(X) 2、无条件成立 Var(c)=0 Var(X+C)=Var(X) Var(KX)=k^{2}Var(X) 3、X和Y独立 Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) 方差的平方根称为标准差。 三、协方差 1、定义 在有限的二阶矩的情况下，两个共同分布的实值随机变量X和Y之间的协方差被定义为它们偏离各自期望值的期望乘积。但协方差的计算有多种形式，和定义的一般格式有所区别，COV(X,Y)=E\left \{ [X-E(X)][Y-E(Y)] \RE[XY-XE(Y)-E(X)Y+E(X)(Y)] =E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X) 2，性质COV(X_{1}+X_{2},Y)=COV(X_{1},Y)+COV(X_{2},Y) 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/26bbfd3b660e52ea551810a6f524ccbff021ca71.html