数学归纳法易错题析 数学归纳法是证明于正整数有关的问题，用数学归纳法证明时要分两个步骤，且缺一不可。初学数学归纳法常出现下面的错误，剖析三种典型错误。 一、对假设设而不用 例1：用数学归纳法证明 122232错证：①当n1时，左边＝1 n21n(n1).(2n1) 61右边＝1(11)(211) 6＝1 所以等式成立。 ②假设当n=k时等式成立。即1`22232k2那么当n=k+1时为 1k(k1)(2k1) 6122232k2(k1)21(k1)[(k+1)+1][2(k+1)+1] 61＝(k1)(k2)(2k3) 6也就是说当nk1时，等式成立。由⑴⑵知对任何nN*等式成立， 剖析：用数学归纳法证明第⑵步骤时，在从“k”到“k1"的过程中，必须把n=k的命题作为已给定的条件，要在这个条件基础上去导出nk1时的命题所以在推导过程中，故必须把n=k时的命题用上，本解法错因是对假设设而不用。 正解：⑵ 122232k2(k1)2 1 ＝k(k1)(2k1)(k1)2 61 ＝(k1)[k(2k1)(k!)] 611 ＝(k1)(2k27k6)(k1)(k2)(2k3) 661 ＝(k1)[(k1)1][2(k1)1] 6 即当nk1时，等式成立。 由⑴⑵知对任何nN*等式成立 1 / 3 二、机械套用数学归纳法中的两个步骤致误 例2：当n 为正奇数时，7n1能否被8整除？若能用数学归纳法证明。若不能请举出反例。 证明：⑴当n=1时，7＋1＝8能被8整除。命题成立。 ⑵假设当n=k时命题成立。即7k1能被8整除。 则 当n=k+1时，7k117(7k1)6不能8整除. 由（1）（2）知n为正奇数。7n1不能被8整除 分析：错因;机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是整奇数的条件。 证明前要看准已知条件。 正解（2）n=k时命题成立，即7k1能被8整除。 当n=k+2时，7k2172(7k1)172 ＝49（7k1)48 因7k1能被8整除。且48能被8整除。所以7k21能被8整除。 所以当 n=k+2时 命题成立 。 由⑴⑵知当n 为正奇数时，7k1能被8整除。 三、没有搞清从k 到k+1的跨度 例3：求证：1111 n1n23n11111 k1k23k1错证：（1）当n ＝1时，不等式成立。 （2） 假设n=k时命题成立，即则当n=k+1时，1111111 k2k33k13(k1)13(k1)就是说当n=k+1时不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。 点评：上述证明中，从k 到k+1的跨度，只加了一项是错误的，分母是相临的自然数，故应是111，跨度是三项。 3k23(k1)3(k1)1 2 / 3 111643131，不等1112131212111式成立。 （2）假设n=k时命题成立，即1， k1k23k1正确证法：（1）当n＝1时，左边＝则当n=k+1时，＝（11k2k31111 3k13k23(k1)3(k1)11111111）＋＋ 3(k1)1k13k23(k1)k1k23k11126k66(k1) ]1223k23k43(k1)9k18k83(k1)2>1＋[=1＋6(k1)6(k1)1。 229k18k89k18k9 这就是说，当nk1时，不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。 3 / 3 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/2d8cec084835eefdc8d376eeaeaad1f3469311db.html