十、数的奇偶性 一张画面向上的扑克牌，将它翻动一次，扑克牌就会变成画面向下。再翻动一次，它的画面又会向上。不停地翻动，就会发现，当翻动的次数是2，4，6，8„时，扑克牌的画面向上；当翻动的次数是1，3，5，7，9„„时，扑克牌的画面向下。这样，就把整数分成了两类：一类是2，4，6，8，10„叫作偶数；另一类是1，3，5，7，9„叫作奇数。 特别地，0也是偶数。 自然数是一奇一偶顺序排列的。两个连续的自然数，必然是一个奇数，一个偶数。 奇数和偶数在运算中表现出不同的特性。那么，想一想奇数和偶数在运算中都有哪些性质呢？ 我们可以将性质总结如下： 1．加减法与奇偶数 (1)一个数在与奇数进行加减运算时，必会改变奇偶性。 即：奇数±奇数＝偶数 奇数±偶数＝奇数 (2)一个数在与偶数进行加、减运算时，必会保持奇偶性。 即：偶数±偶数＝偶数 偶数±奇数＝奇数 你发现了吗？ 其实，上面两条还可以用一句话概括就是：同性相加减，结果为偶，异性相加减，结果为奇。 想一想：当多个数相加时，和的奇偶性由( )的个数决定。 当多个数相加时，和的奇偶性由奇数的个数决定。加数中有奇数个奇数时，和为奇；当加数中有偶数个奇数时，和为偶。(此规律可推广到多个数相加、减的情况) 2．乘法与奇偶数 任何一个数乘以偶数，都得偶数；只有奇数乘奇数时，才得奇数。 即：偶×偶＝偶；奇×偶＝偶；奇×奇＝奇。 想一想： 1．偶数个奇数相加，和为( )数，为什么？ 2．奇数个奇数相加，和为( )数，为什么？ 3．任意个偶数相加，和为( )数，为什么？ 4．当多个数相乘时，只要有一个数是偶数时，积一定为( )数 整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决 例1 下式的和是奇数还是偶数？ 1＋2＋3＋4＋„＋2005＋2006 分析与解：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质，和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。1～2006中共有1003个奇数，1003是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇数。 练一练： 不计算，说出下面结果是奇数还是偶数。 (1)1×2＋3×4＋„„＋2005×2006 (2)1＋2×3＋4×5＋„„＋2006×2007 例2 问题1：桌子上放着六只杯口朝下的杯子，每次翻动五只，问：你能否经过若干次后，将桌面上的六只杯子的杯口上？(请试着做一下) 分析：经过几次试翻后，你会发现这能办到。那么你在试翻过程中是盲目地乱翻，还是有一个比较清晰的方法呢？请看下面的方法。 解：要求每次翻动五只，反过来想就是每次有一只杯子不动，为了使每次翻动的杯子不完全相同，我们可以规定；第1次，第1只杯子不动；第2次，第2只杯子不动；„„第6次，第6只杯子不动，这样经过6次后我们会发现杯口全部朝下了。 点评：上述解法巧在思考问题的对立面，能从“每次翻动5只”想到“每次有1只杯子不动”是使问题简化的关键。 问题2：如果将问题1中的六只改为五只，每次翻动五只改为每次翻动四只，你现在还能否经过若干次后，将桌面上的五只杯子的杯口全部朝下吗？ 分析：(1)我们完全可以仿着问题1的解法做下去，但最后发现经过翻动后，杯口又全部朝上了，如果接着按这种方法翻下去，我们很清楚地看到是无法达到目标的。 (2)为什么问题1与问题2不同呢？ 解：首先，我们发现对于一只杯子来说，只当翻动奇数次时，杯口方向改变，所以要使5只杯子的杯口全部变为朝下，那么每只杯子都要翻动奇数次。5个奇数的和为奇数。所以翻动的总次数为奇数时才能使5只杯子的杯口全朝下，而每次翻动4只，不管翻动多少次，翻动的总张数都是偶数，所以无论翻动多少次都不可能使杯口全部朝下。 (3)他们的区别又在哪呢？如把问题2中的杯子数和每次翻动数再改一改，又会怎样呢？你有什么发现吗？ 自己做完上述题后，是否发现了如下规律： 综上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻转(m－1)只，当m是奇数时，无论翻转多少次，m只杯子不可能全部改变初始状态；当m是偶数时，翻转m次，可以使m只杯子全部改变初始状态。 练一练： 房间里有5盏灯，全部关着．每次拉两盏灯的开关，这样做若干次后，有没有可能使5盏灯全部是亮的？ 例3 博物馆有并列的5间展室，保安人员在里面巡逻。他每经过一间，就要拉一下这间展室的电灯开关。他从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间„，走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间„。如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100个房间后，还有几间亮着灯？ 分析：当一个房间的开关被拉动偶数次时，这间房间的灯亮着，反之则熄灭。警卫经过第1、2、3、4、5、4、3、2展室，又从第1展室开始重复这个过程。在这个过程中，2、3、4展室的电灯开关被拉动2次，第1、5展室的开关被拉动1次。 解：100＝8×12＋4 即警卫走了12个来回，并重新走过第1、2、3、4、展室。这时有如下情形： 第1展室的电灯开关被拉动了12＋1＝13(次)； 第2展室的电灯开关被拉动了12×2＋1＝25(次)； 第3展室的电灯开关被拉动了12×2＋1＝25(次)； 第4展室的电灯开关被拉动了12×2＋1＝25(次)； 第5展室的电灯开关被拉动了12次。 所以，第1、2、3、4展室的灯熄灭了，第5展室的灯亮着。 练习： 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/2d9fa3dc6f1aff00bed51e91.html