绝对值的几何意义及零点分段法 【基础知识】 （1）数轴上任意一点到原点的距离叫做绝对值，记作“|a|”. （2）|a－b|的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点两点之间的距离，且|a b|＝|b－a|。 |a＋b|表示a到-b的距离。 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；用绝对值|5－2|表示 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ；用绝对值|-5－(-2)|表示 数轴上表示-3和1的两点之间的距离是 ；用绝对值|1－(-3)|表示 如图，数轴上两个点A，B分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离是 。用绝对值|a－b|表示。 【几何意义的应用】 一、绝对值表示距离 （1）|x－3|的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若|x－3|=1，则x= 。 （2）|x＋2|的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若|x＋2|=2，则x＝ 。 （3）|x|的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离，|x| |x－0|。 （4）|x＋1|＋|x＋2|的几何意义是数轴上表示x的点到 和 的距离和。 （5）已知数轴上的三点A、B、C，分别表示有理数a、1、-1，那么|a＋1|表示为（ ） A、A、B两点间的距离 B、A、C两点间的距离 C、A、B两点到原点的距离之和 D、A、C两点到原点的距离之和 二、利用几何意义求最值（奇中偶双 奇点偶段） 【引例】已知直线上AB两点相距10米，在直线上有一点C，要使AC＋BC的值最小，C点应该在哪里？此时最小值是多少？ 【总结】共有奇数个点时，最小值的点在中间的点上；偶数个点时，最小值在中间的两个点之间。 【练习】 （1）|x－1|＋|x＋2|的最小值为 ，x应满足的条件是 ； 1 （2）|x＋2|＋|x－1|＋|x－4|的最小值为 ，x应满足的条件是 ； （3）|x＋7|＋|x＋3|＋|x－2|＋|6－x|的最小值为 。 （4）|x＋5|＋|x＋3|＋2|x－2|的最小值为 ； （5）|x＋5|＋|2x－6|的最小值为 。 三、零点分段法（分类讨论） 1、零点分段法的相关概念 零点的定义：指当式子等于0时，未知数的值。 例如：2x－4的零点就是方程2x－4=0的解：x=2. 一般来说，一个题目中有几个绝对值，就对应有几个零点。 例如：|x|＋|x＋1|有两个式子对应有两个零点，而|x＋3|就只有一个式子，只有一个零点。 【引例】根据零点分段法的概念回答问题： （1）分别求出|x＋2|和|x－4|的零点值； （2）式子|x＋9|＋|x－8|可以根据零点分为 段。 2、零点分段法化简绝对值的步骤 （1）求出所有式子的零点； （2）将所有求得的零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来； （3）在分出的每一段中讨论原式的正负性，并将绝对值求出。 例1：|x－1|＋|x＋1| 解：原式的零点为x=-1，x=1 ①若x＜-1，则x－1＜0，|x－1|= -(x－1)=1－x x＋1＜0，|x＋1|= -(x＋1)= -x－1 原式＝1－x＋（-x－1）＝ -2x ②若-1≤x＜1，则x－1＜0，|x－1|＝ -(x－1)＝1－x X＋1≥0，|x＋1|＝x＋1 原式＝1－x＋x＋1=2 ③若x≥1，则x－1≥0，|x－1|＝x－1 X＋1＞0，|x＋1|＝x＋1 原式=（x－1）＋（x＋1）＝2x -2x x＜-1 2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/91b4d99e6adc5022aaea998fcc22bcd126ff422d.html