第4课时 简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词 一、填空题 1．(南通调研考试)命题“∃x∈R，sin x≤1”的否定是________． 答案：∀x∈R，sin x＞1 2．命题p：a2＋b2＜0(a，b∈R)，q：a2＋b2≥0(a，b∈R)．下列结论正确的是________． ①“p或q”为真 ②“p且q”为真 ③“綈p”为假 ④“綈q”为真 答案：① 3．下列4个命题： 1x1x p1：∃x∈(0，＋∞)，2＜3；p2：∃x∈(0,1)，1x p3：∀x∈(0，＋∞)，2> 其中的真命题是________． 答案：p2，p4 4．(2010·江苏盐城中学高三月考)命题p；存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根， 则“非p”是________． 答案：对于任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0都没有实根 5．(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9＜0”为假命题， 则实数a的取值范围是________． 解析：由题意得对任意的x∈R,2x2－3ax＋9≥0恒成立，则Δ≤0， 即(－3a)2－4×2×9≤0，解得a∈[－22，22 ]． 答案：[－22，22 ] 6．(盐城市调研考试)现有下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋x＋1＝0”的否定是“∃ x∈R，x2＋x＋1≠0”；②若A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤－1}，则A∩(∁RB)＝A；③函数 π f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)是偶函数的充要条件是φ＝kπ＋(k∈Z)；④若非零向量a，b满 2 足|a|＝|b|＝|a－b|，则b与(a－b)的夹角为60°.其中正确命题的序号有________．(写出 所有你认为正确命题的序号) 解析：易知②、③正确；①不正确，命题“∃x∈R，x2＋x＋1＝0”的否定是“∀x∈R， x2＋x＋1≠0”；④不正确，b与(a－b)的夹角应为120°. 答案：②③ 7．(经典题)设P是一个数集，且至少含有两个元素，若对任意a，b∈P，都有a＋b， ＞； . 110，，x＜；p4：∀x∈32aa－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域，有下列命题： b ①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数 域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题的 序号都填上) a 解析：对于数域P，取a＝b≠0，且a，b∈P，则a－b＝0∈P，＝1∈P，故①正确； b 又a＋a＝2a，a＋2a＝3a，„，均是P中元素，故P有无数个元素．④正确；对于整 a1 数集Z, a＝1，b＝2时，＝∉Z，故整数集不是数域，②错；对于满足Q⊆M的集合 b2 M＝Q∪{2},1＋2∉M，M不是数域，③错． 答案：①④ 二、解答题 8．已知条件p：x2－x≥6；q：x∈Z.求x的取值组成的集合M，使得当x∈M时，“p∧q” 与“綈q”同时为假命题(“p∧q”表示“p且q”)． 解：当x∈M时，“p∧q”与“綈q”同时为假命题，即x∈M时，p假q真． 由x2－x＜6，x∈Z，解得x＝－1,0,1,2，∴所求集合M＝{－1,0,1,2}． 9．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数满足不 等式x2＋2ax＋2a≤0.若p，q都是假命题，求a的取值范围． 12 解：由a2x2＋ax－2＝0，知a≠0，解此方程得x1＝，x2＝－ . aa1－2≤1，∴|a|≥1. ∵方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解，∴≤1或aa 只有一个实数满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，表明抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一 个公共点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2. ∴命题p为假，则－1＜a＜1；命题q为假，则a≠0且a≠2. ∴若p，q都是假命题，则a的取值范围是(－1,0)∪(0,1)． 10．(2010·北京宣武区高三期中)已知p：x∈R，f(x)＝|x－2|＋|x|＞m恒成立； q：f(x)＝log(5m－2)x在(0，＋∞)上为单调增函数．当p，q有且仅有一个为真命题时， 求m的取值范围． 2x－2 x≥2， 解： ∵f(x)＝|x－2|＋|x|＞m，则f(x)＝2 0≤x＜2，2－2x x＜0， 又∵p：x∈R，f(x)＝|x－2|＋|x|＞m恒成立，∴m＜2. ∴f(x)min＝2. 3 ∵q：f(x)＝log(5m－2)x在(0，＋∞)上为单调增函数，∴5m－2＞1，即m＞. 53 ∴当p是真命题时，有m＜2，当q是真命题时，有m＞. 53 ∵p，q有且仅有一个为真命题，∴m≤或m≥2. 5 1．(泰安)设命题p：关于x的不等式|x|＋|x＋1|＞a的解集为R； 命题q：函数f(x)＝－(7－3a)x在R上是减函数．如果这两个命题中有且仅有一个是真命题，则a的取值范围是________． 解析：若命题p为真，则由|x|＋|x＋1|≥|x－(x＋1)|＝1，得a＜1；若命题q为真， 则7－3a＞1，a＜2.又∵p，q中有且仅有一个为真，故a的取值范围是1≤a＜2. 答案：1≤a＜2 2．已知c＞0，设p：函数y＝cx在R上递减；q：不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R， 如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求c的取值范围(“p∨q” 表示“p或q”， “p∧q”表示“p且q”)． 解：p：函数y＝cx在R上递减，∴0＜c＜1. 2x－2c (x≥2c)，q：不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R，设f(x)＝x＋|x－2c|＝ 2c (x＜2c)， 1 ∴f(x)的最小值为2c，即2c＞1，故c＞.∵“p∨q”为真，且“p∧q”为假， 21 ∴p真q假或p假q真．当p真q假时，c的取值范围是0＜c≤； 210，∪[1，＋∞)． 当p假q真时，c的取值范围是c≥1.因此，c的取值范围是2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/9bc7d1f9941ea76e58fa043a.html