学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ www.aoshu.cn www.zhongkao.cn 联系电话：62164116 第27讲 整取问题 内容概述 有时我们只关心某数的整数部分，于是我们就有了取整问题，如在抽屉原理里,在不定方程里等一些数论问题中． 我们规定[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，即为x的小数或真分数部分． 如[3.14]=3，{3.14}=0.14， 显然有{x}<1． O≤{x}+{y}<2(x、y均为整数时等号才成立)． 典型问题 2．求19811198121981200519812006的和． ...2006200620062006【分析与解】 我们知道如果直接求解是无法解出的，现在试着观察规律: 最后一项为1981不难得到，再看1981119812005198111981119811+；=+ 20062006200620062006198120051981200519812005=+ 200620062006所以有 198111981200519811198111981200519812005+=1981=++ +200620062006200620062006=19811198120051981119812005++ +2006200620062006因为 1981119812005+的和为整数, 20062006所以 1981119812005的和也为整数,但是我们知道0≤{x}+{y}<2；在此题中显然≠+200620060，所以1981119812005=1 +200620061981119812005+=1981-1=1980； 20062006于是这样，我们就找到了一般规律，我们知道原式除了最后一项，还有2005项，于是有1002组和19811003=990； 2006 所以为1002×1980+990+1981=1986931． 4．解方程[x]{x}+x=2{x}+10 学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 1 of 2 学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ www.aoshu.cn www.zhongkao.cn 联系电话：62164116 【分析与解】 我们注意到x不超过10，x不能小于5； 所以当[x]=5，6，7，8，9，10的时候我们分别计算小数部分{x} 当[x]=5时，有5{x}+5+{x}=2{x}+10；则4{x}=5，{x}>1，不满足； 4； 51当[x]=7时，有7{x}+7+{x}=2{x}+10；则 6{x}=3，{x}=； 22当[x]=8时，有8{x}+8+{x}=2{x}+10；则7{x}=2，{x}=； 71当[x]=9时，有9{x}+9+{x}=2{x}+10；则8{x}=1，{x}=； 8当[x]=10时，有10{x}+10+{x}=2{x}+10；则 9{x}=0，{x}=0． 4121所以有x=6，7，8，9，10． 5278当[x]=6时，有6{x}+6+{x}=2{x}+10；则5{x}=4，{x}= 6．r满足r19202191=546．求[100r]的值? rr...r10010010010019、100【分析与解】 显然等式的左边有91-19+1=73项，每项值为[r]或[r+1]，这是因为：2091、…、均小于l， 100100 又由于73×7< 546 <73×8，为使和数为546，则[r]=7， 则设有t个[r+x]值为7，于是，7×t+8×(73-t)=546, 100 解得t=38． 所以有38项整数部分为7． 1938156<8，即 r+<8． 100100193857 r+≥8，即 r+≥8 10010056 于是，100[r+]<8×100． 100 100r+56<800，100r<744；100r+57≥800，100r≥743． 于是，[100r]=743 即：r+ 学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 2 of 2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ef86ee63fd4733687e21af45b307e87101f6f894.html