平行四边形的判定 一、学习目标 掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质 根据四边形的性质特征求角、求边及相关计算题 二、重难点 平行四边形、菱形、矩形的性质综合运用 三、知识要点回顾 判定前提：在同一平面内 【基础知识】 平行四边形 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等。 平行四边形判定定理：1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 4、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 6、两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。 7、相邻两角分别互补的四边形是平行四边形。 注意：（1）平行四边形的判定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当条件作为命题正确的构成条件； （2）判定方法可作为 “画平行四边形”的依据； （3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。 例题讲解1. 如图所示：E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE，CE，CF，AF，请你用两种不同方法证明四边形AECF是平行四边形． 2.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且交BC于点D,DE∥AC于点E,EF∥BC交AC于点F。求证：AE=CF。 3.如图，在ABCD中，延长AB至点E，延长CD至F，使BE=DF,连接EF.求证：AC与EF互相平分。 4.如图，已知AE、CF分别是ABCD的内角∠DAB、∠BCD的平分线。求证：四边形AECF是平行四边形。 5.如图，已知六边形ABCDEF,其中∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°,AB=10,BC=70,CD=20,DE=40,求AF和EF的长。 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的性质： ①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等且平分；注意：矩形具有平行四边形的一切性质 矩形的判定定理：①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形 . 例 1. 如图，在四边形ABCD中，BE=DF,AC和EF互相平分于点O，∠B=90°。求证：四边行ABCD是矩形。 变式 如图，BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的角平分线，ＡE⊥BE，AD⊥BD，点E、D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形. ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形． 利用矩形证明线段相等 例 如图，在△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与△ABC的外角∠BAF的平分线，BE⊥AE于点E.求证：AB=DE. 变式 证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 利用矩形证明线段之间的关系 例 如图，已知点E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE=ED，点P为对角线BD上一点，PF⊥BE于点F,PG⊥AD于点G.求证：AB=PG+PF. 变式 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB,DF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H。求证：CH=DE+DF. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的性质： ①菱形的四条边都相等； ②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 . 菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2 注意：菱形也具有平行四边形的一切性质 菱形的判定定理： 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2、四条边都相等的四边形是菱形 3、对角线互相平分的四边形是菱形 例 如图，ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与边AD、BC分别相交于点E、F。求证：四边形AFCE是菱形。 变式 如图，在△ABC中，AB=AC,点E、F分别是AB、BC、AC的中点。求证：四边形ABCD是菱形. 如图，在ABCD中，BAD的平分线与BC相交于点E，ABC的平分线与AD相交于点F.求证：四边形ABEF是菱形. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点O关于直线AD的对称点是E，连结AE、DE. (1)试判断四边形AODE的形状，并说明理由； (2)连结EB、EC,证明：EB=EC 如图，在矩形ABCD中，点O是BD与AC的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F，连结EC、AF. (1)求证：△BOE≌△DOF; (2)当EF与AC满足什么关系时，四边形AECF是菱形？证明你的结论。 练习 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上一点，且AE=AC,EF∥BC交AD于点F，请判定四边形EDCF的形状，并证明。 如图，点O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC,CE∥BD. (1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由； (2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积。 如图所示，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且BD=BC,BE⊥CD于点F,M是BE上一点。请再添加一个条件，使四边形DMCF是菱形。 如图是两条等宽的高速公路在某处交叉，已知∠ABC=60°,公路宽为60m，求交叉区域的面积。 课后练习：1.已知：如图，□ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AECF，M、N 分别是DE、D F C 2.如图所示，ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，AF与BE相交于G，DF与CE相交于H，连结EF、GH. N 求证：EF、GH互相平分。 M AED3.如图，已知E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，且A B E GAF=CE,DF=BE,DF∥BE.求证：四边形ABCD是平行四边形。 H BF的中点。求证：四边形ENFM是平行四边形。 BFC 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/f16b801c2c60ddccda38376baf1ffc4ffe47e22b.html