分式方程经典试题集锦 一、分式方程： 1、识别一个方程是分式方程的关键是方程分母中有未知数。 2、解分式方程的基本思想是：“把分式方程的分母去掉，使分式方程化为整式方程，就可以利用整式方程的解法求解”。这就是“转化思想”。 3、将分式方程转化为整式方程，转化的条件是“去分母”。其方法是在分式的两边同乘以分式方程中各分式的最简公分母。 4、在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的“增根”。应当舍去。因此，解得整式方程的根后，要代入原分式方程检验，适合原方程即为分式方程的根，不适合，就说明原方程无解。也可以代入去分母时乘以的最简公分母中，使公分母≠0时为原方程的解，使公分母=0时为增根舍去。 例5，解方程：。 分析：本 题方程中分母含有未知数x，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程，首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解，再找最简公分母。 解：将原方程变形： 去分母：方程两边同乘以2(x+3)得： 4+3(x+3)=7, 去括号：4+3x+9=7 移项：3x=7-4-9 合并同类项：3x=-6 系数化为1：x=-2 检验：把x=-2代入原方程 左边==2+=， 右边==， ∵左边=右边，∴x=-2是原方程的解。 注：把求得的未知数的值代入原方程检验，不仅可以检验出是不是增根，还可以检查在解方程过程中计算是否有错误。 例6，解方程：=1-。 分析：本题方程中分母含有未知数，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，此题中分母应先按x的降幂排列，再因式分解，这样便于找最简公分母。 解：原方程变形：=1- 去分母：方程两边同乘以(x-7)(x-1)， 得：(x-3)(x-7)-(x-5)(x-1)=(x-7)(x-1)-(x2-2) 去括号：x2-10x+21-x2+6x-5=x2-8x+7-x2+2 合并同类项：-4x+16=-8x+9 移项：-4x+8x=9-16 合并同类项：4x=-7 系数化为1：∴x=- 检验：将x=-代入(x-7)(x-1) ∵(x-7)(x-1)=( --7)( --1)≠0, ∴x=-是原方程的解。 注：（1）在进行方程变形中：=，=-。（2）去括号时-(x-5)(x-1)=-(x2-6x+5)=-x2+6x-5，-(x2-2)=-x2+2以上几处的变形中不要出现错误，注意分式符号法则的应用及去括号的应用。（3）去分母时原方程中，右边的第一项是整式，千万不要忘记同乘以最简公分母 (x-7)(x-1)。 例7，解方程：。 解：原方程化为： 去分母：方程两边同乘以x(x+1)(x-1)， 得：7(x-1)+3(x+1)=6x 去括号：7x-7+3x+3=6x 移项：7x+3x-6x=7-3 合并同类项：4x=4 系数化为1：∴x=1 检验：把x=1代入x(x+1)(x-1) ∵x(x+1)(x-1)=1×(1+1)(1-1)=0, ∴x=1是原方程的增根，舍去。 ∴原方程无解。 ， 例8，解方程：--+=0。 分析：本题直接去分母，则方程两边就要乘以最简公分母(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)，这样计算比较复杂，因此，我们可采用分组通分的方法，化简，然后再去分母化成整式方程来解。 解法（一）：原方程化为： 将方程两边分别通分： -=- =， 化简：=， ∴=， ∴=， 去分母，方程两边同乘以 (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)： (x-3)(x-5)=(x-2)(x-4) 去括号：x2-8x+15=x2-6x+8 移项：x2-8x-x2+6x=8-15 合并同类项：-2x=-7 系数化为1：∴x= 检验，将x=代入最简公分母(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) ∵ (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=(-2)(-3)(-4)(-5)≠0 ∴x=是原方程的解。 解法（二）：分析：如果一个分式的分子与分母同次或分子的次数高于分母的次数时，可采用竖式除法化简每一个分式。如==1+。 解：原方程可变形为：（1+）-（1+）=（1+）-（1+） 化简得：-=- 将方程两边分别通分： ∴=， ∴=， 去分母，方程两边同乘以(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)， 得：(x-3)(x-5)=(x-2)(x-4) 去括号：x2-8x+15=x2-6x+8 移项：x2-8x-x2+6x=8-15 合并同类项：-2x=-7 系数化为1：∴x= 检验：将x=代入(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)≠0， ∴x=是原方程的解。 二、解分式方程时注意以下几个问题： 1、方程两边同乘以最简公分母时，每一项都要乘，特别是以一个数或一个整式为一项时，这一项不能漏乘； 2、两边都乘以最简公分母去掉方程中的分母，若分式的符号是“-”，去掉分母后，分子应加括号； 3、由于分式方程两边同乘以一个含有未知数的整式，方程可能会产生增根，故必须对求得的根进行检验，这一步必不可少； 4、当分式方程的分母是多项式，为了找最简公分母，需把分母分解因式。 同步检测 一选择 1.下面是分式方程的是（ ） 142x15x63 A.2x3x9 B. 71232x5(x6)13C.2 D.x12x1 2x52.若x2得值为-1，则x等于( ) 55773 B. 3 C. 3 D. 3 A.3.一列客车已晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可正点运行，如果设客车原来行驶的速度是x千米/小时，可列出分式方程为（ ） 2020202016x10x1010 A.x B. x2020202016x10xx10x10 C. D. 112x34.分式方程的解为（ ） A.2 B.1 C.-1 D.-2 ax25.若分式方程x2的解为2，则a的值为（ ） A.4 B.1 C.0 D.2 11426.分式方程x3x3x9的解是（ ） A.无解 B.x=2 C. x=-2 D. x=2或x=-2 2xm7.如果关于x的方程x55x无解，则m等于（ ） A.3 B. 4 C.-3 D.5 8.解方程12x5x1x3时，去分母得( ) A.（x-1）（x-3）+2=x+5 B. 1+2（x-3）=（x-5）(x-1) C. (x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1) D.(x-3)+2(x-3)=x-5 二、填空 xa1x2x9.已知关于的分式方程的根大于零，那么a的取值范围是 . 14k210.关于x的分式方程x2x4x2有增根x=-2，那么k= . x1m2x2x2x11.若关于的方程产生增根，那么m的值是 . mx2x41312.当m= 时，方程m1x1的解与方程x的解互为相反数. 13.为改善生态环境，防止水土流失，某村拟定在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支援，每日比原计划多种20课，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵树？设原计划每天种植x棵树，根据题意列方程为 . AB5x4214.如果x5x2x3x10，则A= ；B= . 三、解答题 15.解分式方程 1212xx142x212⑴x33xx9 ⑵x2x4x2 5x232x1122x(x1)x1(3） （4）2x32x3 x24xa16.已知关于x的方程x(x2)x2x无解，求a的值？ x1mx3517.已知x1与x2的解相同，求m的值？ 18.近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．下面是小明与爸爸的对话： 小明：“爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊！” 爸爸：“是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的1.6倍，用150元给汽车加的油量比去年少18.75升.” 小明：“今年5月份每升汽油的价格是多少呢？” 聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格？ 19.武汉一桥维修工程中，拟由甲、乙两各工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可以知道，若两个工程队合作24天恰好完成，若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成，请问： ⑴甲、乙两工程队完成此项目各需多少天？ ⑵又已知甲工程队每天的施工费用是0.6万元，乙工程队每天的施工费用是0.35万元，要使该项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少施工多少天？ 参考答案 一、选择 1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.B 7.A 8.C 二、填空 9609604x209.a<2 10.1 11.1 12.m=-3 13.x 14.3， 2 三、解答题 1212215.⑴ 解：方程变形为x3x3x9 两边同时乘以(x2-9)得,x-3+2x+6=12,x=3,经检验x=3是原方程的增根，故原方程无解. ⑵ 解：两边同时乘以（x2-4）得x(x+2)-(x+14)=2x(x-2)-(x2-4)；整理得，5x=18, x1818x5,经检验5是原方程的解. (3）解：方程两边同时乘以想x(x-1)得，5x-2=3x,x=1,经检验x=1是原方程的增2根,故原方程无解. (4）.解：两边同乘以（2x+3）（2x-3）得2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3) 整理得4x=-12,x=-3，经检验x=-3是原方程的根. 16.解：因为原方程无解，所以最简公分母x(x-2)=0,x=2或x=0；原方程去分母并整理得a(x-2)-4=0;将x=0代入得a(0-2)-4=0,a=-2;将x=2代入得a·0-4 =0,a无解，故综上所述a=-2. x13x117. 解：，x=2,经检验x=2是原方程的解，由题意可知两个方程的解相同，2m54所以把x=2代入第二个方程得，故m=10. 18. 解：设去年5月份汽油的价格为x元/升，则今年5月份的价格为1.6x元/升，15015018.751.6x依题意可列方程为x，解得x=3，经检验x=3是原方程的解也符合题意，所以1.6x=4.8，故今年5月份汽油的价格是4.8元/升. 19.解：⑴设甲工程队单独完成该项目需要x天，乙单独完成该项目需要y天，依题意可列方程组为 2424xy11110x40x40181y60xyx解得，经检验y60是原方程组的解，也符合题意. ⑵设甲、乙两工程队分别施工a天、b天，由于总施工费用不超过22万元，可得ba140600.6a0.35b22，解得b40，b取最小值为40. 故⑴甲、乙两工程队单独完成此项目分别需40天、60天.⑵乙工程度至少要施工40天. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/f879b16d30687e21af45b307e87101f69e31fb31.html