2017江苏高考数学平均分:2017高考数学江苏（理）考前抢分必做训练（八）

1.已知m，n为直线，α，β为平面，给出下列命题：

①若m⊥α，m⊥n，则n∥α;

②若m⊥β，n⊥β，则m∥n;

③若m⊥α，m⊥β，则α∥β;

④若mα，nβ，α∥β，则n∥m;

⑤若α⊥β，α∩β=m，nα，m⊥n，则n⊥β.

其中正确的命题是________.(填写所有正确命题的序号)

答案　②③⑤

解析　命题①，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，故不正确;命题②，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，由线面垂直的性质定理易知正确;命题③，由线面垂直的性质定理易知正确;命题④，若mα，nβ，α∥β，则n∥m或m、n异面，所以不正确;命题⑤是面面垂直的性质定理，所以是正确命题.故答案为②③⑤.

2.在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，-1,6)，C(x，4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则实数x的值为________.

答案　2

解析　由题意得=(6，-2，-3)，=(x-4,3，-6)，

·=(6，-2，-3)·(x-4,3，-6)

=6(x-4)-6+18=0，

解得x=2.

3.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________.

答案　60°

解析　由中点M，N可知MN∥AD1，由△D1AC是正三角形可知∠D1AC=60°，所以异面直线AC和MN所成的角为60°.

4.在三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA=SB=2，则该三棱锥的体积为________.

答案

解析　如图，∵SA⊥SC，SB⊥SC，且SA∩SB=S，

∴SC⊥平面SAB，

在Rt△BSC中，由SB=2，BC=3，得SC=.

在△SAB中，取AB中点D，连结SD，则SD⊥AB，且BD=，

∴SD= =，∴V=××3××=.

5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是________.

①若m∥α，n∥α，则m∥n;

②若m⊥α，nα，则m⊥n;

③若m⊥α，m⊥n，则n∥α;

④若m∥α，m⊥n，则n⊥α.

答案　②

6.已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=1，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于________.

答案

解析　由题意得三棱柱底面为正三角形，设侧棱长为h，则h··12=h=4，因为球心为上下底面中心连线的中点，所以R2=22+()2=，因此球的表面积等于4πR2=4π·=π.

7.已知长方体ABCD—A′B′C′D′，E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的有________条.

答案　6

解析　如图，连结EG，EH，FG，∵EH綊FG，

∴EFGH四点共面，由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH=E，AB′∩AD′=A，可得平面EFGH与平面AB′D′平行，∴符合条件的共有6条.
8.(2016·兰州高三实战模拟)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β;②AC与α，β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.

其中能成为增加条件的序号是________.

答案　①③

解析　由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面.

①中，∵AC⊥β，EFβ，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EFα，

∴AB⊥EF，∵AB∩AC=A，∴EF⊥平面ABCD，

又∵BD平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确;

②中，由①可知，若BD⊥EF成立，

则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，

而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误;

③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，

可知EF⊥AC，由①可知③正确;

④中，仿照②的分析过程可知④错误，

故填①③.

9.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论中：

①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④异面直线AD与CB1所成角为60°.

错误的有________.(把你认为错误的序号全部写上)

答案　④

解析　①BD∥B1D1，利用线面平行的判定可推出BD∥平面CB1D1;

②由BD⊥平面ACC1可推出AC1⊥BD;

③AC1⊥CD1，AC1⊥B1D1可推出AC1⊥平面CB1D1;

④异面直线AD与CB1所成角为45°，错误.

10.如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1内(含正方体表面)任取一点M，则·≥1的概率p=________.

答案

解析　可解得||cos θ≥，也即在上的投影大于或等于.由几何概型的求法知，p==.

11.如图所示，在边长为5+的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积S=________.

答案　10π

解析　设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由已知条件得

解得r=，l=4，S=πrl+πr2=10π.

12.在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=.

(1)求证：BD⊥PC;

(2)求证：MN∥平面PDC;

(3)求二面角A—PC—B的余弦值.

(1)证明　因为△ABC是正三角形，M是AC中点，

所以BM⊥AC，即BD⊥AC，

又因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

PA⊥BD，又PA∩AC=A，

所以BD⊥平面PAC，

又PC平面PAC，所以BD⊥PC.

(2)证明　在正三角形ABC中，BM=2，

在△ACD中，因为M为AC中点，DM⊥AC，

所以AD=CD，又∠CDA=120°，所以DM=，

所以BM∶MD=3∶1，在等腰直角三角形PAB中，

PA=AB=4，PB=4，所以BN∶NP=3∶1，

BN∶NP=BM∶MD，所以MN∥PD，

又MN平面PDC，PD平面PDC，

所以MN∥平面PDC.

(3)解　因为∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，

所以AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以B(4,0,0)，C(2，2，0)，D(0，，0)，P(0,0,4).

由(1)可知，=(4，-，0)为平面PAC的一个法向量，

=(2,2，-4)，=(4,0，-4)，

设平面PBC的一个法向量为n=(x，y，z)，

则　即

令z=3，则平面PBC的一个法向量为n=(3，，3)，

设二面角A—PC—B的大小为θ，

则cos θ==.

所以二面角A—PC—B的余弦值为.

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