2017江苏高考数学平均分:2017高考数学江苏（理）考前抢分必做训练（三）

1. 2sin 45°cos 15°-sin 30°的值等于________.

答案

解析　2sin 45°cos 15°-sin 30°=2sin 45°cos 15°-sin(45°-15°)=2sin 45°cos 15°-(sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°)=sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°=sin 60°=.

2.要得到函数y=sin 2x的图象，可由函数y=cos(2x-)向________平移________个单位长度.

答案　右

解析　由于函数y=sin 2x=cos(-2x)=cos(2x-)=cos[2(x-)-]，所以可由函数y=cos(2x-)向右平移个单位长度得到函数y=sin 2x的图象.

3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2=(a-b)2+6，C=，则△ABC的面积是________.

答案

解析　c2=(a-b)2+6，即c2=a2+b2-2ab+6，①

∵C=，由余弦定理得c2=a2+b2-ab，②

由①和②得ab=6，

∴S△ABC=absin C=×6×=.

4.(1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是________.

答案　2

解析　由题意得，tan(18°+27°)=，

即=1，

所以tan 18°+tan 27°=1-tan 18°tan 27°，

所以(1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°tan 27°=2.

5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C+ccos B=asin A，则△ABC的形状为________三角形.

答案　直角

解析　∵bcos C+ccos B=asin A，

∴sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A，

∴sin(B+C)=sin2A，∴sin A=1，∴A=，三角形为直角三角形.

6.(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE=2EF，则·的值为________.

答案

解析　如图，由条件可知=-，

=+=+

=+，

所以·

=(-)·(+)

=2-·-2.

因为△ABC是边长为1的等边三角形，

所以||=||=1，∠BAC=60°，

所以·=--=.

7.已知a，b为同一平面内的两个向量，且a=(1,2)，|b|=|a|，若a+2b与2a-b垂直，则a与b的夹角为________.

答案　π

解析　|b|=|a|=，而(a+2b)·(2a-b)=02a2-2b2+3a·b=0a·b=-，从而cos〈a，b〉==-1，〈a，b〉=π.
8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c有下列命题：

①若A>B>C，则sin A>sin B>sin C;

②若==，则△ABC为等边三角形;

③若sin 2A=sin 2B，则△ABC为等腰三角形;

④若(1+tan A)(1+tan B)=2，则△ABC为钝角三角形;

⑤存在A，B，C使得tan Atan Btan CB>C，则a>b>csin A>sin B>sin C;

若==，则=sin(A-B)=0A=Ba=b，同理可得a=c，所以△ABC为等边三角形;若sin 2A=sin 2B，则2A=2B或2A+2B=π，因此△ABC为等腰或直角三角形;若(1+tan A)(1+tan B)=2，则tan A+tan B=1-tan Atan B，因此tan(A+B)=1C=，△ABC为钝角三角形;在△ABC中，tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C恒成立，因此正确的命题为①②④.

9.若△ABC的三边a，b，c及面积S满足S=a2-(b-c)2，则sin A=________.

答案

解析　由余弦定理得S=a2-(b-c)2=2bc-2bccos A=bcsin A，所以sin A+4cos A=4，由sin2A+cos2A=1，解得sin2A+(1-)2=1，sin A=(0舍去).

10.若tan θ=3，则cos2θ+sin θcos θ=________.

答案

解析　∵tan θ=3，

∴cos2θ+sin θcos θ=

===.

11.已知单位向量a，b，c，且a⊥b，若c=ta+(1-t)b，则实数t的值为________.

答案　1或0

解析　c=ta+(1-t)bc2=t2+(1-t)2=|c|2=1t=0或t=1.

12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos A=(2c+a)cos(A+C).

(1)求角B的大小;

(2)求函数f(x)=2sin 2x+sin(2x-B)(x∈R)的值.

解　(1)由已知，bcos A=(2c+a)cos(π-B)，

即sin Bcos A=-(2sin C+sin A)cos B，

即sin(A+B)=-2sin Ccos B，

则sin C=-2sin Ccos B，

∴cos B=-，即B=.

(2)f(x)=2sin 2x+sin 2xcos -cos 2xsin

=sin 2x-cos 2x=sin(2x-)，

当2x-=+2kπ，k∈Z时，f(x)取得值，

即x=+kπ，k∈Z时，f(x)取得值.

13.已知函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且锐角A满足f(A)=1，b=，c=3，求a的值.

解　(1)f(x)=2sin xcos x-2cos2x+1

=sin 2x-cos 2x=sin(2x-)，

所以f(x)的最小正周期为π.

由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)，

得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)，

所以f(x)的单调增区间为[kπ-，kπ+](k∈Z).

(2)由题意知f(A)=sin(2A-)=1，

sin(2A-)=，

又∵A是锐角，∴2A-=，∴A=，

由余弦定理得a2=2+9-2××3×cos =5，∴a=.

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