最大公约数和最小公倍数 知识对对碰 1. 基本知识 (1)约数与最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，所有的公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。 自然数a，b的最大公约数记作(a，b)，例如(12，8)=4，(4，6，10) =2。 如果(a，b)=l，则a与b互质。如果a是b的倍数，则（a，b）=b。 自然数a能被自然数b整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。 (2)倍数与最小公倍数 几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。一般用符号[a，b]表示a，b的最小公倍数，例如：[4，10] =20。 (3)求解方法 ①求最大公约数常用的方法：短除法，列举法，分解质因数法，辗转相除法。 ②求最小公倍数常用的方法：短除法，分解质因数法，列举法，最大公约数法。 2.性质 (1)两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。 如果（a，b）=d，c|d，那么c|a，c|b。 (2)两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的。 如果(a，b)=d，那么（a÷d，b÷d）=1。 (3)若一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除。或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。 (4)两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 例1(★)已知两个数分别是4和B，已知4 =2×2×3×5．B=2×3×3×5，求A，B的最大公约数。 例2(★)一箱图书可以平均分给2，3，4，5，6名小朋友，这箱图书最少有多少本？ 例3(★)三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分钟，45秒钟和1分15秒钟，三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次同时在起点相会？ 例4(★)在1500 -8000之间能同时被12，18，24和42四个数整除的自然数共有多少个？ 例5(★)将一块长3.57米，宽1.05米，高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余） 例6(★)加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成6个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个零件，第三道工序每个工人每小时可完成15个零件，要使加工生产均衡，试设计三道工序工人人数的分配方案。 例7(★★)有3根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.6倍，是第三根的一半，第三根比第二根长220厘米。现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段。 例8(★★)四(1)班学生分组做游戏，如果每3人一组就多出1人，如果每4人一组就多出2人，如果每5人一组就多出3人。问：这个班至少有多少个学生？ 例9(★★)一支队伍不超过1000人，列队时分别按2人、3人、4人、5人、6人一排，最后一排都缺1人，改为7人一排时正好。问：这支队伍共有多少人？ 例10(★★)用自然数a去除374，410，464，得到相同的余数。a最大是多少？ 例11(★★★)两个自然数的差是27，它们的最大公约数与最小公倍数的和是1179。那么这两个数的和是_________。 魔法训练营 1．A、B两个数都恰恰只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和等于多少？ 2．有12分米长的铁丝12根，18分米长的铁丝9根，24分米长的铁丝10根。现在要把它们截成一样长的铁丝，不能浪费，截下的铁丝要最长，铁丝长是多少分米？可以截成多少根？ 3．有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干小学生。学生人数在30～ 50之间，分到最后余铅笔13支、橡皮8块，问小学生究竟有多少人。 4．把一张长147厘米、宽105厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是5:3的长方形纸，且没有剩余，问最少可截成几张。 5．现有252个红球，396个蓝球，498个黄球。把它们分组装在n个袋子里，要求每个袋子里都有红、黄、蓝三种颜色的球，而且每个袋子里的红球数相同，黄球数相同，蓝球数也相同。求n最大是几。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/0773f5a626d3240c844769eae009581b6bd9bd98.html