基本不等式链

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关键词:基本不等式 高中数学教学随笔 必修5 >> 不等式

均值不等式链

aba2b2

ab基本不等式链:ab都是正数,则,当且仅当ab时等号成立. 1122ab

2

注:算术平均数--

ab22ab

;几何平均数———ab;调和平均数——-;平方平均数-

2

11abab

a2b2-2

. 证明1(代数法)

1a0b0(ab)2

0ab2ab

ab

2

ab; (2ab212abab2

2ab0abababab11ab

ab

3a2

b2

2ab2(a2

b2

)2aba2

b2

a2b2(ab)2a2b2ab

242

2

综上,2

11ababa2b2

,当且仅当ab成立. a22b

证明2(几何法)

G

D

D E AaBAaOCBA

a

OCbbO

Cb

B



如图,ACaBCbABab,AB为直径作圆O,则 1ODabDC

DCOD

2

abab

ab

2

2DCabDEDC2OD2ab

ab

DEDC2ababab 3OCaba2b2

aba2b22GC

2

OGGC22 授之以鱼,不如授之以渔。

1


界首一中 2011-01

aba2b2

ab综上,,当且仅当ab成立. 1122ab

2

证明3:(几何法)

作梯形ABCD,使AD//BCB90ADBCCD,ADaBCb(ba)EF别是ABCD的中点,EEGCDG,GGHABH,EB上截取EN

ba

,则2

EF分别是ABCD的中点,EF

ED平分ADCEGEA

ba

2

1

ABab, 2DGaADCGBCDG

GH DGDAGCBC

GCbab

2abGH

abbaa2b2

EN, NF

22



2ababa2b2

显然,GHEGEFFN,∴ ab

ab222ababa2b2

当“ab”时, ab

ab22

证明4(几何法)

(ba) 作梯形ABCD,使AD//BCB90ADBCAB,ADaBCb

AB上截取AEADaAFBCb,则BEbBFa

EEGABCDG,过FFOCDO,过OOHABH, EHGO上分别取点MN,使梯形EGNM与梯形MNOH相似,

1a2b2

ADBFAFBCDFCFabCODOOFCD

22

2

2

ADBCab

22

ADBEBCAE2ab

AEaBEbEG,

abab

EGNMMNOH

EGMNMNEGOHab MNOH

OCODOH



2ababa2b2

显然,EGMNOHOF, ab

ab22

2

问题是思考的结果,是创造的开始。


关键词:基本不等式 高中数学教学随笔 必修5 >> 不等式

aba2b2

2

2

授之以鱼,不如授之以渔。

3

2ab 当“ab”时,abab




本文来源:https://www.wddqw.com/doc/1cfdbc1c571810a6f524ccbff121dd36a22dc4bb.html