《直角三角形》全章培优提高复习 一、知识过关：一、知识要点梳理与过关： 1、直角三角形的定义： 叫直角三角形。直角三角形ABC用几何符号表示 为 。 说明一个三角形是直角三角形时，一般必须说明哪个内角是直角或哪条边是斜边，不然的话就要分类讨论。 2、直角三角形的性质：① 直角三角形中有一个角是 ；② 直角三角形中两个锐角 ； ③ 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 ； ④ 直角三角形中，如果有一角等于30°，那么这个角所对的直角边是斜边的 ； ⑤ 直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 ； ⑥ 勾股定理（直角三角形的三边关系定理）： ，用几何语言叙述为 。 注意：1、定理1用来求直角三角形的角的度数；定理2、3通常用于证明线段之间的倍分关系；定理4通常用于 求三角形中角的度数；定理5通常用来求直角三角形的边长。 2、勾股定理是在三角形为直角三角形的前提下描绘三边之间关系的，利用勾股定理，已知直角三角形的任意两边可求第三边。计算中一定要注意找准斜边和直角边，同时要熟悉以下公式的变形： ⑦ 直角三角形面积计算方法是： 。 ⑧ 直角三角形斜边上的高线长度公式： 。 3、直角三角形的判定方法：①利用角来判定： 或 的三角形是直角三角形。 ②利用一边上的中线与这一边的关系来判定： 。 ③利用三边长度的关系来判定（勾股定理的逆定理）： 。 注意：1、勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的，但在判定一个三角形是否是直角三角形时应首先确定该三角形的最大边，当其余两边的平方和等于最大边的平方时，该三角形才是直角三角形。勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直。 2、勾股定理有逆定理的推广：三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若abc，则三角形是直角三角形；若abc，则三角形是锐角三角形；若abc，则三角形是钝角三角形。 4、直角三角形全等的判定方法：一般方法： 。 特殊方法：斜边、直角边定理: 。 HL是直角三角形所独有的判定方法，对于一般三角形不成立；证明直角三角形全等时，一般先考虑用证一般三角形全等的方法来证明两直角三角形全等，然后才考虑用特殊的方法——HL。 5、角平分线的性质定理：（1）定理内容: 。 （2）用符号语言表示:如图，∵ ，∴ 。 6、角平分线的判定定理：（1）定理内容: 。 （2）用符号语言表示:如图，∵ ，∴ 。 强调：角平分线的性质与判定都要有“一平分、两垂直、两相等”。 二、练习过关：（一）基础部分：1、已知Rt△ABC中，∠A＝35°，则∠B＝ 。 2、ΔABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝30°，则BC= ，AC= 。 3、ΔABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC=5，则∠B＝ 。 4、已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边上的中线的长为______。 5、在Rt△ABC中，∠C= 90°。（1） 已知c = 25，b = 15，则a＝_____；（2） 已知a = 5，c = 9，则b＝_____； （3）已知b = 5，c=15，则a＝_____。 6、根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，如果是直角三角形请在括号中打勾。 （1） ∠A+∠B=∠C ；（ ） （2） ∠A:∠B:∠C=3:4:7；（ ） （3） ∠A=2222222211∠B=∠C。（ ） 237、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形，如果是直角三角形请在括号中打勾。 （1） a = 8，b = 15，c = 17；（ ）（ ）（2） a = 10，b = 24，c = 25；（3） a = 4，b = 5， c =41 。（ ） 8、如图，在△ABC 中，已知AB = 10，BD = 6， AD = 8，AC = 17。 （1）求DC的长；（2）判断△ABC是否是直角三角形？ C9、如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 _______AB或 ； 若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 或 。 10、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，D1 BD=6cm，则点D到AB的距离为 cm。 11、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？ 说说你的理由。 12、已知：如图，点D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且DE=DF。 求证：△ABC是等腰三角形。 （二）应用部分：1、如图，一艘渔船以30 海里/h 的速度由西向东追赶 鱼群。在A 处测得小岛C 在船的北偏东60°方向；40 min 后，渔船行至B 处，此时测得小岛C 在船的北偏东30°方向。已知以小岛C 为中心，周围10 海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？ 2、如图，一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°，如果斑马线的宽度是AB＝3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少? 3、如图，早上10点小东测得某树的影长为2m，到了下午5时又测得该树的 影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度。 （三）提高部分：1、如图，在等腰三角形ABC 中，已知AB = AC = 13cm，BC = 10cm， AD⊥BC 于点D。（1）求BC边上的高AD的长；（2）求AC边上的高的长 2、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长。 3、如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E是AB上的一点。求证：CE = DE。 C4、已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量，∠A＝90º，AB＝3m，BC=12m，DC＝13m，DA＝4m。若每平方米草皮需200元，则买草皮共需多少钱？ C5、如图，在△ABC中，AC=AB，D是BC上的一点，AD⊥AB，AD=9cm，BD=15cm，ABE求AC的长。 D下午5时 早上10时 A四、培优竞赛部分：1、如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°，把△ACD沿AD对折，点C落在点C′的位置，则BC′与BCBACB之间的数量关系是 。2、如图，△DABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合，若AP＝3，则PP′的长等于 。 3、如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，则AD= 。 24、如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，BC=4cm，CD=12㎝，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是 cm。 5、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离（ ） A、等于1米 B、大于l米 C、小于l米 D、不确定 6、如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是（ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 7、在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D＝90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ） A．4 B．5 C．23 D．83 3D8、在由单位正方形组成的网格图中标出了AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ） A、CD，EF，GH B、AB，CD，EF C、AB，CD，GH D、AB，EF，GH 9、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）使三角形的三边长分别为3，22，5；（2）使三角形为钝角三角形且面积为4。 10、如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB， 已知∠ABC＝45°， ∠APC＝60°，则∠ACB的度数为 。 11、如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD， 2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/3c8e7a7081eb6294dd88d0d233d4b14e84243e6e.html