对数的性质及推导

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对数的性质及推导

定义:

a^n=b(a>0a≠1) n=log(a)(b)

基本性质:

1a^log(a)(b)=b 2log(a)(a)=1 3log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);







5log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6log(a)[M^1/n]=log(a)(M)/n (注:下文^均为上标符号,例:a^1即为a

推导

1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b 2、因为a^b=a^b t=a^b 所以a^b=tb=log(a)(t)=log(a)(a^b) 3MN=M×N 由基本性质1(换掉MN) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 43类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉MN) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 5、与(3)类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 4广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下: 换底公式(换底公式见下面)[lnxlog(e)(x)e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 换底公式的推导: e^x=b^m,e^y=a^n log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} 再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷[log(a)(b)] --------------------------------------------(性质及推导 完)











1.对数函数的图象都过(1,0). 2.对于y=log(a)(n)函数, ,0,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1. ②当a>1,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的减小,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1. 3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.

性质一:换底公式

log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a) 推导如下: N = a^[log(a)(N)] a = b^[log(b)(a)] N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] =


b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} N=b^[log(b)(N)] b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的} 所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

公式二:log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明如下: 由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数 log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1 在实用上,常采用以10为底的对数,并将对数记号简写为lgb,称为常用对数,它适用于求十进制整数或小数的对数。例如lg10=1, lg100=lg10^2=2, lg4000=lg10^3×4=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表,便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数,并将记号 loge。简写为ln,称为自然对数,因为自然对数函数的导数表达式特别简洁,所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上,数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展,这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。


本文来源:https://www.wddqw.com/doc/5241861964ec102de2bd960590c69ec3d5bbdb1b.html