课时作业(二) 1．在命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( ) A．原命题与逆命题 C．逆命题与否命题 答案 B 2．以下说法错误的是( ) A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必定为真命题 B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定是真命题 C．原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数 D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题 答案 B 3．若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的( ) A．逆命题 C．逆否命题 答案 B 4．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A．若一个数是负数，则它的平方不是正数 B．若一个数的平方是正数，则它是负数 C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数 D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数 答案 B B．否命题 D．以上都不正确 B．原命题与逆否命题 D．上述四个命题 解析 一个命题的逆命题就是把原命题的条件和结论互换得到的命题． 5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( ) A．3 C．1 答案 C 6．有下列四个命题． ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“若lga>lgb，则a2>b2”的逆否命题； ③“若x≤－3，则x2＋x－6≥0”的否命题． 其中真命题的个数是( ) A．0 C．2 答案 C 解析 ①对，②对，③错． 7．若命题“若p，则q”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是( ) A．若p，则q C．若綈q，则綈p 答案 B 解析 因为逆命题与否命题互为逆否命题，有相同的真假性．由B．若綈p，则綈q D．以上均不对 B．1 D．3 B．2 D．0 逆命题为真可知否命题“若綈p，则綈q”为真命题． 8．互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．我们用“↔”表示同真或同假，把它叫做“连连看”．已知命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，命题p的逆命题是t，则下列同真同假的“连连看”中，正确的一组是( ) A．p↔r，s↔t C．p↔s，r↔t 答案 C 解析 因为命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，所以命题p与s互为逆否命题，故有p↔s；又由于命题p的否命题是r，命题p的逆命题是t，故命题r，t也是互为逆否命题，即r↔t. an＋an＋19．(2014·陕西，文)原命题为“若2<an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，其正确的是( ) A．真，真，真 C．真，真，假 答案 A 解析 写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题，并利用原命题与其逆否命题等价进行判断． an＋an＋1<an⇔an＋1<an⇔{an}为递减数列． 2原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是B．假，假，真 D．假，假，假 B．p↔t，s↔r D．p↔r，s↔r 真命题，故选A. 10．用反证法证明，“在△ABC中，若∠C为直角，则∠B一定是锐角”，其反设正确的是( ) A．∠B是直角 C．∠B是钝角 答案 B 11．用反证法证明“若ab不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设________． 答案 a，b中至少有一个是偶数 12．给定下列命题： ①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实根；②“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题． 其中真命题的序号是________． 答案 ①②④ 13．命题“若关于x的实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根，则Δ＝b2－4ac<0”的逆否命题是B．∠B是钝角或直角 D．∠B不是钝角 ________________________，它为________命题．(填真、假) 答案 若b2－4ac≥0，则关于x的实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真 14．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． 解析 逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2.假命题． 否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b.假命题． 逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.假命题． 15．已知f(x)是(－∞，＋∞)内的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．” (1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 思路 题干中已知函数的单调性，利用函数单调性大多是根据自变量取值的大小推导函数值的大小，当已知两个函数值的关系时，也可以推导自变量的取值的大小．多个函数值的大小关系，则不容易直接利用单调性，故可考虑利用四种命题的关系寻求原命题的等价命题． 解析 (1)逆命题： 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)内的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. (用反证法证明)假设a＋b<0，则有a<－b，b<－a. ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)． ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设中f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立． 从而a＋b≥0成立．逆命题为真． (2)逆否命题： 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)内的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0. 原命题为真，证明如下： ∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)． ∴f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)＝f(－a)＋f(－b)． ∴原命题为真命题． ∴其逆否命题也为真命题． 1．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是( ) A．若a∉M，则b∉M C．若a∉M，则b∈M 答案 D 2．已知a，b，c是一组勾股数，即a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数． 思路 利用反证法证明． 证明 假设a，b，c都是奇数． ∵a，b，c是一组勾股数，∴a2＋b2＝c2.① ∵a，b，c都是奇数，∴a2，b2，c2也都是奇数． ∴a2＋b2是偶数，这样①式的左边是偶数右边是奇数，产生矛盾． B．若b∉M，则a∈M D．若b∈M，则a∉M ∴a，b，c不可能都是奇数． 3．证明：如果直线l和两条平行线a，b中的直线a是异面直线，且不与直线b相交，那么直线l与直线b也是异面直线． 证明 如图所示，假设l与b不是异面直线，则l与b共面，即l与b可能相交，也可能平行．若l与b相交，这与已知相矛盾． 若l与b平行，即l∥b，又a∥b，得l∥a，这与l与a是异面直线相矛盾． 综上可知，l与b是异面直线． 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/6e3d7e3113a6f524ccbff121dd36a32d7275c751.html