第2课 集合的子、交、并、补 ●考试目标 主词填空 1.子集 若集合A的每个元素都是集合B的元素，则集合A是集合B的子集. 2.真子集与集的相等. 若AB且BA 则称A是B的真子集.若A、B同时满足AB且BA，则称集合A等于集合B. 3.补集SA={x| xA且x∈S} 4.交集与并集 A∩B={x| x∈A且x∈B} A∪B={x| x∈A或x∈B} ●题型示例 点津归纳 【例1】 设集合A={x|2x(1)AB (2)A∩B={1} (3)A∪B={0,-1,1,2} (4) RB={x| x2≠1,0} 【解前点津】 化简确定集合A、B，便一目了然. 【规范解答】 易得A={1,2} B={-1,1,a} (1)∵a∈B,∴a=2时，AB (2)∵2B,∴a≠2时，A∩B={1} (3) a=0时，A∪B={0,-1,1,2} (4)a=0时，R B={x| x2≠1,0}. 【解后归纳】 有关集合的子、交、并、补等计算，化简或确定集合，或借助数轴等图形，是必须掌握的一项“基本功”. 【例2】 设A={x| x2+mx+1=0,x∈R}，B={y| y<0}，若A∩B= ，求实数m的取值范围. 【解前点津】 由条件A∩B= 可推断A= 或A={x| x2+mx+1=0，x≥0}≠ 【规范解答】 当A= 时，由Δ=m2-4<0得-2<m<2.(2)当A≠ 时，则方程x2+mx+1=0有大量负实数.设其根为x１、x2，因x≠0， 故由x1x2m0 得m≤-2. 023x2=1}，B={x| (x-a)(x2-1)=0}，当a分别为何值时， 综上所述得 (-2,2)∪(-∞,-2)=(-∞，2)为m的取值范围. 【解后归纳】 本题综合应用了集合的交，方程中根与系数的关系及“分类讨论”的思想方法. 【例3】 将函数f (x)= x2-ax,x∈［0,1］的最小值记作A，函数g(x)=x+a, x∈［0,1］的最小值构成的集合记作B，求A∪B. 【解前点津】 分别确定一次函数，二次函数在闭区间上的最小值是关键所在. 【规范解答】 ∵x∈［0,1］，∴(x+a)∈［0,1+a］，∴B={a}， aa2aaa又f (x)=x,欲求其最小值，须分∈(-∞,0)，∈［0,1］，∈(1,+∞)三种情况. 242222当a<0即a<0时f (x)的最小值为f (0)=0； 2aaa2当0≤≤1即0≤a≤2时，f (x)的最小值为f ()=-， 224当a>1即a>2时，f (x)的最小值为f (1)=1-a，故 2{0}2aA4{1a}(a0)(0a2) (a2)综上所述知：当a<0时，A∪B={0}∪{a}={0,a}； 22aa当0≤a≤2时，A∪B=∪{a}=,a； 44当a>2时，A∪B={1-a}∪{a}={1-a, a}. 【解后归纳】 二次函数在闭区间上的最值，常依对称轴所处的位置而定. 【例4】 设A={y|y2-3y+2≤0}，B={x|x2-4ax+(3a2-2a-1)≤0} (1)若AB,求a的取范围； (2)是否存在a值，使BA? 【解前点津】 确定集合，集B，利用“数轴”进行运算. 【规范解答】 由条件知：A=［1,2］，B=［a-1,3a+1］ (1)∵AB,∴a-1≤1<2≤3a+1 图1-2-1 故由a111≤a≤2 33a12(2)若BA, 则1≤a-1≤3a+1≤2 图1-2-2 a1a11故由3a1a1a1无解. 3a121a3因而，不存在这样的a值，使BA. 【解后归纳】 通过两个集合在数轴上的位置关系可确定a满足的条件. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.设全集I={1,3,5,7,9}，集合A={1,|a-5|,9}， I A={5,7}，则a的值是 ( ) A.2 B.8 C.-2或8 D.2或8 2.已知集合M={x|x2-x>0}, N={x|x≥1}，则M∩N= ( ) A.［1,＋∞) B.(1,+∞) C. D.(-∞,0)∪(1,+∞) 3.设全集I={-2,-1,-11111, ,,1,2,3}，A={, ,1,2,3}, B={-2,2}，则集合{-2}等于 ( ) 23232A. I A∩B B.A∩B C. I A∩ I B D.A∪ I B 4.设集合M={x| x-m≤0}, N={g| g=(x-1)2-1,x∈R}.若M∩N= ，则实数m的取值范围是 ( ) A.［-1, B.(-1,+∞) C.(-∞,1 D.(-∞,-1) 5.已知集合A={-1,2}, B={x| mx+1=0},若A∪B=A，则实数m的取值范围是 ( ) A.{-1, 1111} B.{-,1} C.{-1,0, } D.{-,0,1} 22226.如图1-2-3，U是全集，M，N，S是U的子集，则图中阴 影部分所示的集合是 ( ) A.( U M∩ U N)∩S B.( U(M∩N))∩S C.( U N∩S)∪M D.( U M∩S)∪N 7.集合A=［2,, B=(-∞,a), A∩B= , 则a的取值范 围是 （ ） 图1-2-3 A.(-∞,2) B.8,2 C.(2,+∞) D.［2, 8.满足A∪B={a, b}的集合A、B的组数是 ( ) A.4组 B.6组 C.7组 D.9组 9.定义M-N={x|x∈M且xN}.若M={1,3,5,7,9}, N={2,3,5}, 则M-N= ( ) A. M B. N C. {2} D.{1,7,9} 10.已知集合M、N满足：M={x|2x25x4=1}, M∩N={x|lg (2-x)=lg(x2-4x+4)}，则集合N可能是 ( ) A.{1,4} B.{1,2} C.{2,4} D.{1,2,4} 二、思维激活 11.已知非空集合M满足：M{1,2,3,4,5}且若x∈M则6-x∈M,则满足条件的集合M有 个. 12.以下关系正确的是 . ① ∈{ }且 {} ②0{ }且{ } ③0={0}且 ={ } ④ ∈{0}且0∈{ } 13.设全集S={x∈N*|x≤10}, A={不大于10的质数}，B={6的正约数}，则 S(A∪B)= . 14.设S={2,4,1-a}, A={2,a2-a+2}, 若 SA={-1},则a= . 三、能力提高 15.若A={x|x=6a+8b,a,b∈Z},B={x|x=2m,m∈Z},求证：A=B. 16.已知全集S={1,3,x3+3x2+2x},A={1,|2x-1|}，如果SA={0},则这样的实数x是否存在?若 存在，求出x，若不存在，说明理由. 17.已知非空集合A={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)g=15},B={(x,y)|y=(5-3a)x-2a}, 若A∩B= ，求实数a的值. 18.已知集合A={-1,1}, B={x|x2-2ax+b=0}，若B≠ , 且A∪B=A,求a, b的值 第2课 集合的子、交、并、补习题解答 1.D (验证)若a=-2,则A={1,7,9} I A={3,5}不合条件，若a=2,则A={1,3,9}, I A={5,7},满足条件；若a=8则A={1,3,9}，仍符合条件，故选D. 2.B (直接计算)由x2-x>0且x≥1得x>1,故选B. 3.A (验证) I A={-2,-1,-1111}, I B={-1,-,,,1,3}，故选A. 22324.DM=(-∞,m)，N =［-1,+∞），由m<-1选D． 5.D(检验)若m=-1则B={1}不合条件，若m=0则B= 符合条件，故选D． 6.A(逐一检验)选A． 7.B作图一看便知，选B． 8.D(穷举法)，选D． 9.D直接利用定义D． 10.B 由M={1,4},M∩N={1},选B． 11.(例举)M={1,5}, M={2,4}, M={3}, M={1,3,5}, M={2,3,4}, M={1,2,4,5}, M={1,2,3,4,5}7个. 12.(直接观察)① 13.S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A={2,3,5,7}, B={1,2,3,6}A∪B={1,2,3,5,6,7,},故为{4,8,9,10}. 14.∵ S A={-1},∴(-1)A,∴a2-a+2≠-1,∴由a2-a+2=4或a2-a+2=1-a得a=2. 15.证明：①设t∈A,则存在a、b∈Z，使得t=6a+8b=2(3a+4b) ∵3a+4b∈Z,∴t∈B即aB. ②设t∈B,则存在m∈Z使得x=2m=6(-5m)+8(4m). ∵-5m∈Z,4m∈Z,∴x∈A即BA，由①②知A=B. 16.解：∵ S A={0},∴0∈S但0A,∴x3+3x2+2x=0故x=0，-1,-2 当x=0时，|2x-1|=1, A中已有元素1， 当x=-1时，|2x-1|=3,3∈S; 当x=-2时，|2x-1|=5,但5S 故实数x的值存在，它只能是-1. 17.∵A∩B=，故方程组 (a21)x(a1)y15 无解. (53a)xy2aa21a115由 得：a=1(舍去)或a=3. 53a12a18.∵A∪B=A,∴BA但B≠ ，故B有两个元素或含有一个元素两种情形. 当B含有两个元素时，B=A={-1,1}，这时a=0, b=-1; 当B只含有一个元素时，Δ=4a2-4b=0，即a2=b，若B={1},2a=1+1=2,即a=1,b=1,若B={-1}，则a=-1, b=1，综上所述得 a0a1a1或或 b1b1b1. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ab6e88f8270c844769eae009581b6bd97f19bc66.html