证明等边三角形的方法 证明一个三角形是等边三角形主要有以下几种方法:三边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 下面通过具体的例题来说明这三种判定方法的应用. 例1 如图1， 已知等腰△ABC，BA=BC，BD⊥AC，延长BC至E，CE=CD，BD=CE. 求证：△ABC是等边三角形. 分析：根据已知△ABC是等腰三角形，要证明其为等边三角形，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以只要证明其中的一个内角为30°即可. 证明：∵CE=CE，∴∠CDE=∠CED， ∵BD=ED，∴∠DBE=∠DEB， ∵∠DCB=∠CDE+∠CED=2∠E=2∠DBC， 图1 又BD⊥AC，∴∠DCB+∠DCB=90°，∴3∠DBC=90°，∠DBC=30°， ∴∠DCB=60°， ∴△ABC为等边三角形. 例2 如图2，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB、AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形. 分析：根据△ABC是等边三角形可得∠A=∠B=∠C=60°，根据DE//BC可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，这样可通三个角都相等的三角形是等边三角形来证明. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵DE//BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， 图2 ∴∠A=∠ADE=∠AED=60°， ∴△ADE是等边三角形. 例3 如图3，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，得到一个新的三角形△DEF，△DEF是等边三角形吗？你还能找到其他的等边三角形吗？请证明你的结论. 分析：要判断△DEF是不是等边三角形，根据已知条件，只要判断D、F、E三个角是否都相等.由△ABC是等边三角形，DF//AB可以得到∠BAC=∠ACF=60°，∠ABC=∠BCD=60°，同样的方法可以得到∠FAC=∠EAB=60°，∠ABE=∠DBC=60°，这样可得∠E=∠D=∠F=60°，从而可得△DEF是等边三角形，△ACF，△BCD，△EBA都是等边三角形. 解：△DEF是等边三角形. 证明：∵△ABC是等边三角形， 图3 ∴∠BAC=∠ABC=∠CBA=60°， ∵AB//DF，∴∠ACF=∠ BAC =60°，∠DCB=∠ABC=60°， 同样的方法根据AC//DE，BC//EF，可得到∠ABE=∠DBC=60°，∠BAE=∠CAF=60°， ∴∠E=∠F=∠D=60°， ∴△DEF是等边三角形. 根据三个角都相等的三角形是等边三角形可知△AFC，△CDB，△BEA都是等边三角形. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/b47953184128915f804d2b160b4e767f5bcf804f.html