万唯尖子生每日一题8数(2022版)重难点26 手拉手模型

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重难点26 手拉手模型

第126天等边共线三等分

1．如图1，ABC和DCE都是等边三角形．探究发现

（1）BCD与ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．（2）若B、且点E在点C的右侧，E三点不在一条直线上，C、ADC30，AD3，CD2，求BD的长．

（3）若B、C、E三点在一条直线上，且点E在点C的右侧（如图2)，且ABC和DCE的边长分别为1和2，求ACD的面积及AD的长．

1.解:(1)小鹿来帮大家总结一下,两个等边三角形会构成手拉手模型哦.全等,证明如下: ∵ABC和DCE都是等边三角形,∴ACBC,DCEC,ACBDCE60, ∴ACBACDDCEACD,即BCDACE.

∵CDCE,BCDACE,BCAC,∴BCDACE(SAS);

(2)BD好像不太好求,小鹿想起(1)问的全等了,会不会AE好求点呢?还真是,就变成勾股定理了.由(1)得:BCDACE,BDAE.∵DCE是等边三角形,∴CDE60,CDDE2

∵ADC30,∴ADEADCCDE306090,

AD2DE213,BDAE13;

(3)小鹿提示一下,求面积,作高很有必要.过点A作AFCD于点F,作图就交给你了.∵B,C,E三点在一条直线上,∴BCAACDDCE180,∵ABC和DCE都是等边

在RtADE中,AD3,DE2,∴AE三角形, ∴BCADCE60,ACD60

,

∴

在

RtACF

中,

11

AC, 22

3

AFAC2CF2∴,

2

13

FDCDCF2,

22CAF30,CF

在RtAFD中,AD

∴

SACD

1133CDAF22222

,

AF2FD23.

第127天最值旋转常关联

2．如图，AOB和COD都是以O为直角顶点的等腰直角三角形，

（1）如图1，连接AC，BD，试判断AC与BD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，连接AC，BD，若点D恰好在AC上，且D为AC的中点，AB5，求BOD的面积；

（3）如图3，当点C恰好在直线AB上，OA4，点E为OB的中点，若点C在直线AB上运动，连接ED，求线段ED的最小值。

2.解:(1)结论:ACBD,ACBD.理由:如解图(1),设AC交BD于点K,OA交BD于点E.DOCAOB90,AOCBOD.又∵OAOB,OCOD,AOCBOD(SAS),

∴ACBD,OACOBD.∵OBDBEO90,BEOAEK,∴

OACAEK90

∴AKB90,ACBD;

(2)如解图(2),过点O作OHCD于点H.∵ODOC,COD90,OHCD,∴

OHDHCH.

设OHDHCHm,∵点D为AC的中点,

∴CDAD2m.∵AB5,OAOB,AOB90,OA

2

10

,在RtAOH中,∵2

101122222

OHAHOA,∴m(3m),解得m或m(舍去),∴222

1

OH,AC2.

2

1

由(1)知AOCBOD,SBODSAOC;

2

(3)小鹿分析了一下，一个定点,一个动点,要想线段长最小,垂直的时候就最短了,好了,想通了,就动手吧!

如解图(3),连接BD.∵OAOB,OCOD,AOBCOD90,∴AOCBOD,∴AOCBOD(SAS),∴OBDOABOBA45,∴ABD90,∴点D的运动轨迹在直线BD上,当DEBD时，DE的长最短.∵OAOB4,点E为OB的中点,∴EBOE2,∵OBD45,BDE90,DEBD

2,∴ED的最小值为2.

第128天旋转构造辅助线

3.问题探究

(1)如图(1),在四边形ABCD中,ABBC,ABC60,ADC30,AD6,BD10,求CD的长度.甲同学受到启发,以CD为边在CD左侧构造了一个等边CDE,并连接BE,将CD进行转化再计算,请根据甲同学构造的辅助线完成计算; 拓展应用：(2)如图(2),在四边形ABCD中,

AB7,BC3,ABCACDADC45,求BD的长.

3.解:(1)∵ABC和CDE是等边三角形,∴

CDDECE,BCADCECED60,AB BCAC,DCAECB,ACDBCE,∴CEBADC30,BEAD6,

∴BEDBECCED90.在RtBDE中,DEBDBE8,∴CDDE8;

(2)在ABC的外部,以点A为直角顶点作等腰直角BAE,连接EC.你们试试吧.∵ACDADC45,ACAD,CAD90, ∵BAE90,BAEBACCADBAC, 即EACBAD,∵AEAB,EACBAD,ACAD, ∴EACBAD(SAS),BDEC.∵AEAB7,

2

2

AE2AB272,ABEAEB45,

又∵ABC45,∴EBCABCABE454590,

∴BE∴EC

BE2BC2107,BDEC107.

第129天旋转平行角特别

4.如图在ABC中，BAC120，ABAC=23，将ABC绕点A逆时针旋转得到

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/6bebf4cf866a561252d380eb6294dd88d0d23da3.html

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