万唯尖子生每日一题8数(2022版)重难点27 对角互补半角模型

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重难点27 对角互补半角模型

第131天直角相对证全等

1.在正方形ABCD中,点P为线段BD上的动点,点E为线段CD上的动点,连接PE,作PFPE交直线AD于点F.

(1)如图(1),当点P与线段BD的中点O重合时,DE,DF,DB三条线段之间的数量关系为 (2)如图(2),点P在DB的延长线上,且

PB1

,点E,F分别在线段DC的延长线和线段 BD3

DA的延长线上,请写出DE,DF,DB三条线段之间的数量关系,并说明理由;

(3)点P在线段BD上,若正方形的边长为6,CP25,DF2,当BPBO时,请直接写出

DE的长.

1.解:(1)关系可不是看出来的,而是一点一点证出来的,是吗,大兄弟们.但是这个关系,小鹿感

242DB;(2)DEDFDB; 23

理由如下:如解图(1),过点P作PGPD,交DA的延长线于点G,在正方形ABCD中,BD

觉与2有关,你不会以为我有第六感吧!DEDF为对角线,

则PDFPDE45,PDPG,PGD

GPD90,∴GPD为等腰直角三角形,

PDFPDE45,∵PFPE,3290,∵3190,12, ∴PDEPGF(ASA),DEGF,在等腰RtGPD中,

GDPG2PD2PD2PD22DP,即GFFD2DP,

42PB1DP44DB

DB. 又∵,,DP,DEGF，∴DEDF2DP3BD3DB33

(3)亲爱的你们可以直接输出答案,但小鹿可不行,小鹿还是要准备解析过程.DE的长为2或6.

【解法提示】(1)如解图（2),当点F在边AD上,BPBO时,连接AC交BD于点O,过点

P作PGPD交DA于点G,正方形边长为6,CD6,ODOC

CP25,在RtOPC

中,OPCP2CO2

2

CD32,又2

2,GDP为等腰直角三角形,∴

PDPGODOP22,DG2DP

4,GFDGDF422,由(2)可得PEDPFG(ASA),DEGF2; (2)如解图(3),当点F在AD延长线上,BPBO时,连接AC交BD于点O,过点P作

PGPD交AD于点G,正方形边长为6,由1得,OD32,OP2,GDP为等腰直

角三角形,

∴PDPGODOP22,DG

2DP4,GFDGDF426,由(2)可得

PEDPFG(ASA),DEGF6.

第132天角平分线最关键

2.已知ABC是等边三角形,点D是AC的中点,点E在射线BC上,点F在射线BA上,EDF120.

(1)如图(1),若点F与点B重合,求证:DBDE;

(2)如图(2),若点E在线段BC上,点F在线段BA上,探究线段BF,BE,AC之间的数量关系,并证明;

(3)若AFCEBD,求EDC的度数.

2.(1)证明:出题人怎么舍得多给条件呢,但凡给出的,都有用武之地. ∵ABC为等边三角形,BABC,ABC60.

∵点D为AC的中点,∴DB平分ABC,∴DBC30.

∵EDF120,E1801203030,∴DBCE,DBDE;

(2)解:说起探究题,有没有很兴奋,从已知一点点推出结论,这种成就感，十个馒头都不换.

3

AC;证明如下: 2

如解图(1),过点D作DH//BC,交AB于点H,∵ABC为等边三角形,∴ABC60.

∵DH//BC∴AHDB60,ADHC60,

∴AHDADHC60,HDC120,∴ADH是等边三角形,∴DHAD. ∵点D为AC的中点,∴DADC,DHDC.∵EDF120,HDC120, ∴EDHFDHEDHCDE,∴FDHCDE.

∵FHDC,DHDC,FDHEDC,∴DFHDEC(ASA), ∴HFCE,∴BFBEBHHFBEBHBEECBHBC

113

BHAC.∵DH为ABC的中位线,∴BHABAC,∴BFBEAC;

222BFBE

(3)①当点E在BC的延长线上时,如解图(2),在BC上截取BHBF,连接DH,过点D作DGBC于点G,∵ABC是等边三角形,点D是AC的中点,∴ABCACB60,ABBCAC,DBF

DBH30.∵BFBH,DBFDBH,BDBD∴BDFBDH(SAS),

∴DFBDHB,AFDDHE.∵

EDF120,ABC60,EDFABC

180,DFBE180.∵DFBAFD180∴EAFD,DHEE,DHDE.

11

∵DGBC,GHGEHE,∴在RtBDG中,DGBD,

22

∵ABBC,BHBF,AFHC∴AFCEHEBD2DG,DG

1

HE 2

∴GDGHGE,E45,∴EDCACBE604515;

(2)当点F在BA的延长线上时,如解图③,在BA上截取BHBE,连接DH,过点D作

DGAB于点G,同理:F45,DEC45,∴EDC180604575. 综上所述,EDC的度数为15或75.

爱笑的少年,运气总不会太差,这不就完胜.欧耶.

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/bd173cfd6c1aff00bed5b9f3f90f76c661374c7a.html

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