Mathematica 软件在梯度和方向导数教学中的应用 一、问题的提出 Mathematica软件从1988年发行至今，对计算机在科学技术的诸多领域的应用产生了很深远的影响，最近国内外已经有很多学者把它与多门学科联系起来，并且取得了不少的成就，它很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序的高级连接。很多功能在相应领域内处于世界领先地位，尤其是强大的符号计算和绘图功能。 随着现代教育技术的发展和教学改革不断加深，在高等数学教学过程中根据教学内容适当引入现代化教学手段，提高教学水平，增强学生学习兴趣和解决实际问题的能力，数学软件加入数学教学已经是在必行，尤其是方向导数和梯度这一高数中的难点内容，学生理解起来显得有点吃力，本文将这个内容通过软件绘图演示二元函数所表示的曲面及对应的梯度场，等高线，让它的教学变得更具体，形象直观。 二、初步探索 编写程序：（1）ContourPlot3D[z==75-x^2-y^2+x*y，{x，-10，10}，{y，-10，10}，{z，0，75}，AxesLabel→{"x"，"y"，"z"}，BoundaryStyle→{Thickness[0.02]，Red}，ContourStyle→Directive[Green，Opacity[0.9]，Specularity[White，50]]，Axes→False，Boxed→False] （2）f[x_，y_]：=75-x^2-y^2+x*y； grad=D[f[x，y]，{{x，y}}] T1=VectorPlot[%，{x，-10，10}，{y，-10，10}]； T2=ContourPlot[f[x，y] 0，{x，-10，10}，{y，-10，10}]； Show[T1，T2] （3）ContourPlot[75-x^2-y^2+x*y，{x，-10，10}，{y，-10，10}] 图1 小山表面 图2 小山高度函数的梯度场 图3 小山曲面的等高线 从图2可以看出，箭头越长的地方的梯度越大，所指方向即为高度增加的方向，也就表明如果沿着该方向爬山的话，高度上升越快，从图3可以看出，等高线越密集的地方，高度变化越快，也就是A，C两点会比B，D的高度变化更快，与图2所猜测的结论吻合。 三、计算验证 软件验证： （1）求驻点：编写程序：f[x_， y_] ：= 5 x^2 + 5 y^2 - 8 x*y； c[x_， y_] ：= x^2 + y^2 - x*y -75； L[x_， y_， m_] ：= f[x， y] + m*c[x， y]； Zhudian = Solve[{D[L[x， y， m]， x] == 0， D[L[x， y， m]， y] == 0， D[L[x， y， m]， m] == 0}] 输出结果： 。 （2）代入驻点求函数值，与人工计算结果一致。 （3）计算高度函数在图1中点C（5，-5）处分别沿着 的方向导数 编写程序： f[x_，y_]：=x2+y2-x*y-75； grad=D[f[x，y]，{{x，y}}]； Gradi=grad/.{x→5，y→-5}； a={1，-1}；b={1，1}；c={-1，1}； FXDSa=Gradi.Normalize[a] FXDSb=Gradi.Normalize[b] FXDSc=Gradi.Normalize[c] 四、结束语 高等数学诸多内容的教学可以让学生主动参与，探索，本文就是以一个小案例引发学生兴趣，利用Mathematica软件一步步深入摸索，验证，不仅提高了演示效果，增强学生学习积极性，还鼓励了学生利用数学知识和计算机来实现自己猜测想法的探索精神。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ed608f61fbd6195f312b3169a45177232e60e445.html