二次型矩阵在多元可微函数极值问题的应用 梁伟秋;尹小艳 【摘 要】在求解多元可微函数的极值问题时,通常需要在其驻点的邻域内判断其二阶微分的符号,但限于多元的原因,往往很难在分析学的范围内给出直观易操作的一般性方法.根据二阶微分的函数表达形式,引进代数学的矩阵分析,将存在二阶连续微分函数的极值问题转化为二次型正定性的判断问题,给出极值问题的一般性求解步骤及相关证明. 【期刊名称】《高师理科学刊》 【年(卷),期】2017(037)008 【总页数】3页(P28-30) 【关键词】可微;多元极值;驻点;二次型矩阵 【作 者】梁伟秋;尹小艳 【作者单位】西安电子科技大学数学与统计学院,陕西西安710126;西安电子科技大学数学与统计学院,陕西西安710126 【正文语种】中 文 【中图分类】O714.3 定义1[1] 设在区域上有定义，，若存在邻域，使对任意的，有或成立，则称为的极大（小）值点，称为极大（小）值． 引理1[2] 在上可微，，则在处取到极值的必要条件是，称满足该条件的点为驻点．即对于可微函数，极值点必定是驻点，反之不然． 引理2[3] 在上可微且，存在邻域，对任意的，使得存在且连续，则当时，为极小值点；当时，为极大值点；当时，无法判断是否为极值点；当对任意的，邻域内都存在不同的且分别使得，成立的点时，不是极值点． 定义2[4] 数域上的一个元二次型是系数在中的个变量的二次齐次多项式，它的一般形式是 简写成，其中：．令，称为二次型的矩阵． 定义3[5] 若对任意元数组，有，则称为正定二次型；若，则称为负定二次型；若既有，又有，则称为不定二次型． 引理3[6] 对实对称矩阵，若矩阵的所有特征值为正的，则为正定矩阵，对应的称为正定二次型；若的所有特征值为负的，则为负定矩阵，对应的称为负定二次型；若的特征值有正的，也有负的，则为不定矩阵，对应的称为不定二次型． 根据引理１~３，对于定义域上的多元可微函数，求其极值步骤： Step1 令，求出为满足条件的解，则为的驻点． Step2 导出的表达式，一般地 写出点处的系数矩阵． Step3 计算矩阵的特征值或顺序主子式等，判断矩阵的性质（正定、负定、不定）．若矩阵是正定的，则驻点为极小值点；若矩阵是负定的，则驻点为极大值点；若矩阵是不定的，则驻点不是极值点． Step1 和Step3 只是计算，没有需证明的内容，需给出Step2 的理论依据． 令，可得表达式是一个二次型的形式，故可通过矩阵 来判断二次型的符号，又是连续的，由连续函数的保号性，则存在，对任意的，使得与的符号一致，于是转化为判断的符号，相应的判断矩阵转化为． 注 矩阵的正定性的判定方法不唯一，特征值方法是其中一种，也可以通过顺序主子式是否都大于0等其他方法来判断． 例[7] 求的极值． 解 在定义域内函数的二阶微分存在且连续，令，得方程组，，．解得驻点，又求得，则将代入得 得到判别矩阵，易知为正定矩阵．所以，点为极小值点，极小值为． 文献[7]采用数学分析的方法，在式（3）处进行配方，需要一定的技巧，相对而言，本文的解法操作上更加直观方便． [1] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）[M]．北京：高等教育出版社，2010：145 [2] 周民强．数学分析习题演练（第二册）[M]．北京：科学出版社，2012：127-131 [3] 林元重．新编数学分析（下册）[M]．武汉：武汉大学出版社，2015：115-117 [4] 邱维声．高等代数（上册）[M]．北京：清华大学出版社，2010：315，340-343 [5] 常庚哲，史济怀．数学分析教程（上册）[M]．合肥：中国科学技术大学出版社，2012：420-421 [6] 钱吉林．高等代数题解精粹[M]．北京：中央民族大学出版社，2009：242-243 [7] 吉米多维奇．数学分析习题集解（5）[M]．济南：山东科学技术出版社，2014：151 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/9aad0adf49fe04a1b0717fd5360cba1aa9118c44.html