幂的运算中的几种思维火花 幂的运算法则，课本上学过的有： （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加：aaamnmn. nnn （2）积的乘方，每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 ： abab. （3）幂的乘方，底数不变，指数相乘： amnamn. mnmn （4）同底数幂相除，底数不变，指数相减： aaa. 这些法则都是在有理数运算的基础上讨论的，法则中的底数字母可以代表数字，也可以是代数式，而指数字母目前只代表正整数. 这些法则运用时还要注意几种数学思想的提炼，这样才会灵活处理各种问题. （1） 数字到字母的迁移思维 [例1] 计算 x3m1xn1x12n. （分析）问题还是同底数幂的乘法，只不过指数不是具体的数字，变成代数式了，我们仍然可以运用法则，指数相加时要注意合并同类项. [解] 原式=x3m1n112n=x3mn1. （注）事实上我们所学的幂的运算法则中，指数都可以扩展为字母或代数式. [例2 ] 计算 x22m1. （分析）x看作幂，m1看作乘方指数，指数相乘时，要注意有括号的作用：2m1=2m2. [解] 原式=x2m1=x2m2. （2） 整体思维 [例3]计算 abbaab. 232n（分析）如果想到baab，这样baabab就可以把333ab看作一个整体，作为底数，进行同底数幂的乘法. [解] 原式=abab23ab2n=ab52n. （注）法则中的底数都可以是数字、字母、代数式，要注意观察其特点，灵活运用法则进行运算. [例4]计算 a2bab. 5232（分析）被除式和除式分别是积的乘方，但是两个积相同，我们还是把ab看作一个整体，先进行同底数幂的除法，再进行积的乘方. [解] 原式=a2b2a4b2. （注）该题有两种思路，可以分别试算一下，然后再选择一种简便方法. （3） 逆向思维 [例5] 计算 0.251014100. 101（分析）指数太大，直接乘方计算无法进行。若倒退一步，把0.25再用结合律计算0.25来会非常简便了. [解] 原式=0.250.25100100看作0.250.25100100，4100，这时再倒退一步0.251004100=0.254，这样计算起4100=0.250.254=0.2511000.25. 100（注）数字太大的计算问题，一般都会有简便方法，不要直来直去，要知道有时“退一步海阔天空”啊！ [例6] 已知 am10,an5，求a2mn的值. 2mn（分析）所求与已知相离太远, 倒退着联想a数正好利用上. [解] a2mn=a2man(am)2an，这样已知=a2man(am)2an=1025=100520. （注）我们所学过的几个幂的运算法则都可以逆用，适当后退，为了更好的前进. （4） 有限到无限的递推思维 [例7 ]计算 aaa23an. （分析）多个同底数幂相乘，我们还可以应用法则：底数不变，所有的指数相加. [解] 原式=a123n. （注）法则都可以拓展应用，处理复杂问题时要注意理解选用. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/f61f3bc9e73a580216fc700abb68a98271feac1a.html