球体体积公式的推导 湖北仙桃二中 刘四云 1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是R，半径分别为r1、r2、r3、…rn n由相交弦定理得 r12 = 1RR2·(2R—) = R2(—2) , nnnn222R2R222r2 = ·(2R—) = R(—2) ,， nnnn2223R3R223r3 = ·(2R—) = R(—2)， nnnn2 ………………… n2nRnR2n2 rn = ·(2R— ) = R ·（ — 2） nnnn2R32R32222 R323321 ∴V半球 = 兀·(—2)+兀·(—2)+兀·(—2)…… nnnnnnnnnR3n22n+兀·（ — 2） nnnR32222n22n122223 =兀·（+++……+ —2—2—2—……—2） nnnnnnnnnR3123n122232n2 =兀·（2×—） 2nnnR31n2n1n1 =兀·〔n + 1—·〕 n6n2 =兀R3 〔2n1n1〕 n11 —·n62n =兀R3 ·4n23n16n2 =兀R3 ·（23+12n16n2） 当n趋近于∞时，12n = 0，16n2 = 0所以VR3（2半球 = 兀3 + 0 + 0 ） = 23兀R3 V球体体积 = 43兀R3。 ， 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/c53009ae54270722192e453610661ed9ad5155bf.html