球体体积公式的推导 1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的R平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r1、r2、r3、…rn n由相交弦定理得 r12 = 2 湖北仙桃二中 刘四云 1RR2·(2R—) = R2(—2) , nnnn222R2R222r2 = ·(2R—) = R(—2) ,， nnnn223R3R223r3 = ·(2R—) = R(—2)， nnnn2 ………………… rn2 n2nRnR2n2 = ·(2R— ) = R ·（ — 2） nnnnR32R32222 R323321 ∴V半球 = 兀·(—)+兀·(—2)+兀·(—2)…… nnn2nnnnnnR3n22n+兀·（ — 2） nnnR3222232222n22n1 =兀·（+++……+ —2—2—2—……—2） nnnnnnnnnR3123n122232n2 =兀·（2×—） nn2nR31n2n1n1 =兀·〔n + 1—·〕 2n6n =兀R3 〔n112n1n1 —·〕 2n6n4n23n1 =兀R · 26n3 =兀R3 ·（2112） +32n6n11 当n趋近于∞时， = 0，2 = 0， 2n6n所以V半球 = 兀R3（2 + 0 + 0 ） 3 = 2兀R3 34 V球体体积 = 兀R3。 3 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/869398ad2a160b4e767f5acfa1c7aa00b42a9dfd.html