球体体积公式的推导 1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的R平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r1、r2、r3、…rn n 由相交弦定理得 r12 = 2RR12·(2R—) = R2(—2) , nnnn2R2R22222r2 = ·(2R—) = R(—2) ,， nnnn3R3R22223r3 = ·(2R—) = R(—2)， nnnn2 ………………… rn2 nRnR2nn22 = ·(2R— ) = R ·（ — 2） nnnn 1 R32R32222 R32332 ∴V半球 = 兀·(—2)+兀·(—2)+兀·(—2)…… nnnnnnnnn2nR3n2+兀·（ — 2） nnn2n1R3222232222n2 =兀·（+++……+ —2—2—2—……—2） nnnnnnnnn123n122232n2R3 =兀·（2×—） 2nnn 1n2n1n1R3 =兀·〔n + 1—·〕 6n2n =兀R3 〔n112n1n1 —·〕 2n6n =兀R3 ·4n23n16n2 =兀R3 ·（213+2n16n2） 当n趋近于∞时，112n = 0，6n2 = 所以V = 兀R3（2半球3 + 0 + 0 ） = 23兀R3 V = 4球体体积兀R33。 0， 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/04836d5beef9aef8941ea76e58fafab068dc4440.html