绝对值的化简 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题． 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识. 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数． 例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜； (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜； (4)若｜a｜=b，则a=b； (5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b； (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜． 例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜． 例3 已知x＜-3，化简：321x 例5 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值． 参考答案： 例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜； (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜； (4)若｜a｜=b，则a=b； (5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b； (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜． 解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立． (2)对． (3)对． (4)不对．当a≥0时成立． (5)不对．当b＞0时成立． (6)不对．当a＋b＞0时成立． 例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜． 解 由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0． 再根据绝对值的概念，得 ｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c． 于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c． 例3 已知x＜-3，化简：321x 分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号． 解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0) =｜3+｜3+x｜｜ =｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0) =｜-x｜=-x． 解 因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0． (1)当a，b，c均大于零时，原式=3； (2)当a，b，c均小于零时，原式=-3； 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/f267c0dffbb069dc5022aaea998fcc22bcd1437f.html