球体体积公式的推导

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球体体积公式的推导

1、如图,设球体的球心为O,半径为R,球体体积为V,用垂直于半径 OA

R

平面将半球分成n个圆柱体,则每个圆柱体的高是,半径分别为r1r2r3、…rn

n



湖北仙桃二中 刘四云





由相交弦定理得 r12 =

1RR2

·(2R) = R2(2) ,

nnnn

r22

2R2R22222

= ·(2R) = R(2) ,

nnnn

223R3R23

r32 = ·(2R) = R2(2)

nnnn

…………………

2

nnRnR2n

rn2 = ·(2R ) = R2 · 2

nnnn



R32R32222 R323321

V半球 = 兀·()+兀·(2)+兀·(2)……

nnn2nnnnnn

R3n22n+兀· 2

nnn

R3222232222n22n1

=兀·+++……+ 222—……—2

nnnnnnnnn

.


.

R3123n122232n2

=兀·2× 2

nnnR31n2n1n1 =兀·n + 1· n6n2

=R3

n112n1n1 ·

n6n2

=R3

·4n23n16n2



=R3 ·

23+12n1

6n2 n趋近于∞时,11

2n = 06n2 = 所以V= R32

半球 3 + 0 + 0

= 2

R33

V4

球体体积 = 3

R3



.

0


本文来源:https://www.wddqw.com/doc/23f79249df88d0d233d4b14e852458fb770b38ab.html