球体体积公式的推导 1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r1、r2、r3、…rn Rn 由相交弦定理得 r12 = ·(2R—) = R2(—2RnRn2n1) , 2n222R2R222r2 = ·(2R—) = R(—2) ,， nnnn2223R3R223r3 = ·(2R—) = R(—2)， nnnn ………………… n2nRnR2n2 rn = ·(2R— ) = R ·（ — 2） nnnn2R32R32222 R3231 ∴V半球 = 兀·(—2)+兀·(—2)+兀·(—nnnnnnnn32)…… 2nR3n22n+兀·（ — 2） nnn1 / 2下载文档可编辑 R322222n122223 =兀·（+++……+ —2—2—2nnnnnnnnn2—……—2） nR3123n122232n2 =兀·（2×—） 2nnnR31n2n1n1 =兀·〔n + 1—·〕 n6n2 =兀R3 〔32n1n1〕 n11 —·n6n24n23n1 =兀R · 6n2 =兀R3 ·（+112） 2n6n11 当n趋近于∞时， = 0，2 = 0， 2n6n2所以V半球 = 兀R3（ + 0 + 0 ） 32 = 兀R3 34 V球体体积 = 兀R3。 3 23（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报） 2 / 2下载文档可编辑 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ea8ee924b9f67c1cfad6195f312b3169a551ea63.html