球体体积公式的推导

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球体体积公式的推导

1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的

R

平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r1、r2、r3、…rn

n

由相交弦定理得 r12 =

1RR2

·(2R—) = R2(—2) ,

nnnn

2

22R2R22

r22 = ·(2R—) = R2(—2) ,，

nnnn

r32

3R3R2322

2

= ·(2R—) = R(—2)，

nnnn

…………………

2

nnRnR2n

rn2 = ·(2R— ) = R2 ·（ — 2）

nnnn

R32R32222 R323321

∴V半球 = 兀·(—2)+兀·(—2)+兀·(—2)……

nnnnnnnnn

n2R32n+兀·（ — 2）

nnn

2222n2R3222232n1

=兀·（+++……+ —2—2—2—……—2）

nnnnnnnnn

R3123n122232n2

=兀·（2×—） 2

nnn

.

.

R31n2n1n1 =兀·〔n + 1—·〕 2n6n

=兀R3 〔

n112n1n1 —·〕 2

n6n

=兀R3 ·4n23n1

6n

2

=兀R3 ·（

23+12n1

6n2）当n趋近于∞时，11

2n = 0，6n2 = 所以V= 兀R3（2

半球 3 + 0 + 0 ）

= 2

3兀R3

V4

球体体积 = 3

兀R3。

.

0，

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ed740f3ff9c75fbfc77da26925c52cc58ad6906b.html

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