球体体积公式的推导 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 球体体积公式的推导 1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的R平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r1、r2、nr3、…rn 由相交弦定理得 1RR2 r12 = ·(2R—) = R2(—2) , nnnnr22 = 2R2R22222·(2R—) = R(—2) ,， nnnn3R23222·(2R—) = R(—2)， nnnnr32 = 3R ………………… rn2 = n2nRnR2n2·(2R— ) = R ·（ — 2） nnnn R32R32222 R323321 ∴V半球 = 兀·(—2)+兀·(—2)+兀·(—2)…… nnnnnnnnnR3n22n+兀·（ — 2） nnnR32222n22n122223 =兀·（+++……+ —2—2—2—……—2） nnnnnnnnnR3123n122232n2 =兀·（2×—） nn2n2 R31n2n1n1 =兀·〔n + 1—·〕 2n6n =兀R3 〔n112n1n1 —·〕 2n6n24n3n1 =兀R3 · 26n211 =兀R3 ·（+2） 32n6n11 当n趋近于∞时， = 0，2 = 0， 2n6n2所以V半球 = 兀R3（ + 0 + 0 ） 32 = 兀R3 34 V球体体积 = 兀R3。 3 3 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/959b69dbaf51f01dc281e53a580216fc700a53ae.html