球体体积公式的推导 湖北仙桃二中 刘四云 1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的平R面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r1、r2、r3、…rn n 由相交弦定理得 r12 = 1RR2·(2R—) = R2(—2) , nnnnr22 2R2R22222 = ·(2R—) = R(—2) ,， nnnn223R3R23r32 = ·(2R—) = R2(—2)， nnnn ………………… 2nnRnR2n rn2 = ·(2R— ) = R2 ·（ — 2） nnnn R32R32222 R323321 ∴V半球 = 兀·(—)+兀·(—2)+兀·(—2)…… nnn2nnnnnnR3n22n+兀·（ — 2） nnnR3222232222n22n1 =兀·（+++……+ —2—2—2—……—2） nnnnnnnnnR3123n122232n2 =兀·（2×—） 2nnnR31n2n1n1 =兀·〔n + 1—·〕 n6n2 =兀R3 〔n112n1n1 —·〕 n6n2 =兀R3 ·4n23n16n2 =兀R3 ·（23+12n16n2） 当n趋近于∞时，112n = 0，6n2 = 所以V = 兀R3（2半球3 + 0 + 0 ） = 23兀R3 V = 4球体体积兀R33。 0， 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/9addd7196beae009581b6bd97f1922791788be61.html