2017年湖南对口高考数学试卷及答案,2017年湖南高考数学理二轮模拟试题及答案

1.设复数，其中i是虚数单位，则的模为( )
ABCD1
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2
2.下列说法正确的是( )
A“若，则”的否命题是“若，则”
B在中，“” 是“”必要不充分条件
C“若，则”是真命题
D使得成立
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3
3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果( )

A4B5C2D3
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4
4.下列四个图中，函数的图象可能是( )
ABCD
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5
5.设实数满足，则的取值范围是（）
A BCD
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6
6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S为（注：圆台侧面积公式为）( )

ABCD
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7
7.已知的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为( )
ABCD
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8
8.在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为( )
ABCD
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9
9.已知函数的图象关于直线对称，则( )
ABCD
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10
10.已知函数是定义在上的偶函数,为奇函数，,当时，，则在区间内满足方程的实数为( )
ABCD
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11
11.如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1,）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是( )

A12B13C15D16
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12
12.已知函数在处取得值，以下各式中：①②③④⑤正确的序号是( )
A②④B②⑤C①④D③⑤
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填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
13
13.设函数，则满足的取值范围为 .
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14
14.多项式的展开式中的系数为 .（用数字作答）
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15
15.有一个电动玩具，它有一个的长方形（单位：cm）和一个半径为1cm的小圆盘（盘中娃娃脸），他们的连接点为A,E,打开电源，小圆盘沿着长方形内壁，从点A出发不停地滚动（无滑动），如图所示，若此时某人向该长方形盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的概率为 .

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16
16.设数列满足，且，若表示不超过的整数，则 .
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简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
已知函数
17.若关于的方程只有一个实数解，求实数a的取值范围；
18.若当 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
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18
函数的部分图像如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.

19.求函数的解析式；
20.在中，角A,B,C满足，且其外接圆的半径R=2，求的面积的值.
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19
已知数列的前项和，n为正整数.
21.令，求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；
22.令，求.
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20
为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如下表：

从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，得到下边的茎叶图：

23.现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和数学期望；
24.用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水用量为第二阶梯水量的可能性，求出n的值.
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21
如图，在各棱长均为2的三棱柱中，侧面底面，

25.求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；
26.已知点D满足，在直线上是否存在点P,使DP//平面？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由.
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22
已知函数在定义域内有两个不同的极值点.
27.求实数a的取值范围；
28.记两个极值点为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.
22 第(1)小题正确答案及相关解析
正确答案

解析

由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根； 即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；
（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，
如下图．

可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．
令切点A（x0，lnx0）， 故，又，故，解得，x0=e， 故， 故．
（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．
又，
即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0， 故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减． 故g（x）极大=g（e）=；
又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，
故g（x）的草图如下图，

可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，
只须． ……4分
（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，
而（x＞0），
若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，
此时g（x）不可能有两个不同零点．
若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，
所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，
又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，
于是只须：g（x）极大＞0，即，所以．
综上所述，． ……4分
考查方向

本题主要考查了利用导数研究函数的性质。
解题思路

解法(一)是先研究相切时直线的斜率，即可得。解法（二）分离参数法。解法（三）极值法。
易错点

利用导数研究函数的性质。
22 第(2)小题正确答案及相关解析
正确答案

λ≥1
解析

因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．
由上题可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，
即lnx1=ax1，lnx2=ax2
所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，
所以原式等价于．
又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．
所以原式等价于，
因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．
令，t∈（0，1），
则不等式在t∈（0，1）上恒成立． ……8分
令，
又=，
当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，
所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．
当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，
所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，
所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．
考查方向

本题主要考查了构造函数，然后利用导数研究函数的性质。
解题思路

首先分析不等式成立时的条件，然后构造函数进行证明。
易错点

分析法不熟练，以及通过转化构造函数。

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